Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36501 / 39274
↖ ↑ ↗
← S 33.623768°
E 20.505981°		 ← 508.65 m → S 33.623768°
E 20.511475°		 →
↑
508.60 m
↓
↑
508.60 m
↓
S 33.628342°
E 20.505981°		 ← 508.62 m →
258 691 m²		 S 33.628342°
E 20.511475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556968688964844 y=0.599281311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556968688964844 × 216)
    floor (0.556968688964844 × 65536)
    floor (36501.5)     		tx = 36501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599281311035156 × 216)
    floor (0.599281311035156 × 65536)
    floor (39274.5)     		ty = 39274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36501 / 39274 ti = "16/36501/39274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36501/39274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36501 ÷ 216
    36501 ÷ 65536     		x = 0.556961059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39274 ÷ 216
    39274 ÷ 65536     		y = 0.599273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556961059570312 × 2 - 1) × π
    0.113922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35789689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.19854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.623754937856171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35789689} λ = 0.35789689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.623754937856171))-π/2
    2×atan(0.535928277308638)-π/2
    2×0.491975434131148-π/2
    0.983950868262297-1.57079632675     		φ = -0.58684546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35789689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.505981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58684546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.623768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36501 KachelY 39274 0.35789689 -0.58684546 20.505981 -33.623768
    Oben rechts KachelX + 1 36502 KachelY 39274 0.35799277 -0.58684546 20.511475 -33.623768
    Unten links KachelX 36501 KachelY + 1 39275 0.35789689 -0.58692529 20.505981 -33.628342
    Unten rechts KachelX + 1 36502 KachelY + 1 39275 0.35799277 -0.58692529 20.511475 -33.628342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58684546--0.58692529) × R
    7.9830000000003e-05 × 6371000     		dl = 508.596930000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58684546--0.58692529) × R
    7.9830000000003e-05 × 6371000     		dr = 508.596930000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35789689-0.35799277) × cos(-0.58684546) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.832691604897714 × 6371000     		do = 508.650899235305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35789689-0.35799277) × cos(-0.58692529) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.832647397417879 × 6371000     		du = 508.623895030821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58684546)-sin(-0.58692529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832691604897714-0.832647397417879)×R²
    abs(0.35799277-0.35789689)×4.42074798351344e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42074798351344e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42074798351344e-05×40589641000000     		ar = 258691.41880282m²