Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36501 / 102565
↖ ↑ ↗
← S 70.762491°
W 79.747009°		 ← 100.63 m → S 70.762491°
W 79.744262°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
S 70.763396°
W 79.747009°		 ← 100.63 m →
10 130 m²		 S 70.763396°
W 79.744262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278484344482422 y=0.782512664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278484344482422 × 217)
    floor (0.278484344482422 × 131072)
    floor (36501.5)     		tx = 36501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782512664794922 × 217)
    floor (0.782512664794922 × 131072)
    floor (102565.5)     		ty = 102565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36501 / 102565 ti = "17/36501/102565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36501/102565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36501 ÷ 217
    36501 ÷ 131072     		x = 0.278480529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102565 ÷ 217
    102565 ÷ 131072     		y = 0.782508850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278480529785156 × 2 - 1) × π
    -0.443038940429688 × 3.1415926535     		Λ = -1.39184788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782508850097656 × 2 - 1) × π
    -0.565017700195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.77505545603106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39184788} λ = -1.39184788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77505545603106))-π/2
    2×atan(0.169474050880638)-π/2
    2×0.167878936637801-π/2
    0.335757873275603-1.57079632675     		φ = -1.23503845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39184788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.747009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23503845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.762491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36501 KachelY 102565 -1.39184788 -1.23503845 -79.747009 -70.762491
    Oben rechts KachelX + 1 36502 KachelY 102565 -1.39179994 -1.23503845 -79.744262 -70.762491
    Unten links KachelX 36501 KachelY + 1 102566 -1.39184788 -1.23505425 -79.747009 -70.763396
    Unten rechts KachelX + 1 36502 KachelY + 1 102566 -1.39179994 -1.23505425 -79.744262 -70.763396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23503845--1.23505425) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dl = 100.661799999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23503845--1.23505425) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dr = 100.661799999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39184788--1.39179994) × cos(-1.23503845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329484822045158 × 6371000     		do = 100.633145591845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39184788--1.39179994) × cos(-1.23505425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329469904262256 × 6371000     		du = 100.628589316963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23503845)-sin(-1.23505425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329484822045158-0.329469904262256)×R²
    abs(-1.39179994--1.39184788)×1.49177829017466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49177829017466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49177829017466e-05×40589641000000     		ar = 10129.6842535945m²