Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36500 / 47812
↖ ↑ ↗
← S 63.401362°
E 20.500488°		 ← 273.47 m → S 63.401362°
E 20.505981°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
S 63.403821°
E 20.500488°		 ← 273.45 m →
74 776 m²		 S 63.403821°
E 20.505981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556953430175781 y=0.729560852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556953430175781 × 216)
    floor (0.556953430175781 × 65536)
    floor (36500.5)     		tx = 36500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729560852050781 × 216)
    floor (0.729560852050781 × 65536)
    floor (47812.5)     		ty = 47812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36500 / 47812 ti = "16/36500/47812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36500/47812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36500 ÷ 216
    36500 ÷ 65536     		x = 0.55694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47812 ÷ 216
    47812 ÷ 65536     		y = 0.72955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55694580078125 × 2 - 1) × π
    0.1138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35780102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72955322265625 × 2 - 1) × π
    -0.4591064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44232543576825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35780102} λ = 0.35780102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44232543576825))-π/2
    2×atan(0.236377438512689)-π/2
    2×0.232116909888519-π/2
    0.464233819777038-1.57079632675     		φ = -1.10656251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35780102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.500488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10656251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.401362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36500 KachelY 47812 0.35780102 -1.10656251 20.500488 -63.401362
    Oben rechts KachelX + 1 36501 KachelY 47812 0.35789689 -1.10656251 20.505981 -63.401362
    Unten links KachelX 36500 KachelY + 1 47813 0.35780102 -1.10660543 20.500488 -63.403821
    Unten rechts KachelX + 1 36501 KachelY + 1 47813 0.35789689 -1.10660543 20.505981 -63.403821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10656251--1.10660543) × R
    4.29199999998353e-05 × 6371000     		dl = 273.443319998951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10656251--1.10660543) × R
    4.29199999998353e-05 × 6371000     		dr = 273.443319998951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35780102-0.35789689) × cos(-1.10656251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447737838820396 × 6371000     		do = 273.472796117723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35780102-0.35789689) × cos(-1.10660543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447699460851482 × 6371000     		du = 273.449355323673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10656251)-sin(-1.10660543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447737838820396-0.447699460851482)×R²
    abs(0.35789689-0.35780102)×3.83779689139829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83779689139829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83779689139829e-05×40589641000000     		ar = 74776.1044471955m²