Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3650 / 2266
↖ ↑ ↗
← N 62.390370°
W 19.599610°		 ← 2 264.62 m → N 62.390370°
W 19.555664°		 →
↑
2 265.40 m
↓
↑
2 265.40 m
↓
N 62.369996°
W 19.599610°		 ← 2 266.16 m →
5 132 016 m²		 N 62.369996°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44561767578125 y=0.27667236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44561767578125 × 213)
    floor (0.44561767578125 × 8192)
    floor (3650.5)     		tx = 3650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27667236328125 × 213)
    floor (0.27667236328125 × 8192)
    floor (2266.5)     		ty = 2266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3650 / 2266 ti = "13/3650/2266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3650/2266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3650 ÷ 213
    3650 ÷ 8192     		x = 0.445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2266 ÷ 213
    2266 ÷ 8192     		y = 0.276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.10888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34207772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276611328125 × 2 - 1) × π
    0.44677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.40359242087524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34207772} λ = -0.34207772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40359242087524))-π/2
    2×atan(4.06979415038825)-π/2
    2×1.32985684750377-π/2
    2.65971369500754-1.57079632675     		φ = 1.08891737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34207772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.599610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08891737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.390370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3650 KachelY 2266 -0.34207772 1.08891737 -19.599610 62.390370
    Oben rechts KachelX + 1 3651 KachelY 2266 -0.34131073 1.08891737 -19.555664 62.390370
    Unten links KachelX 3650 KachelY + 1 2267 -0.34207772 1.08856179 -19.599610 62.369996
    Unten rechts KachelX + 1 3651 KachelY + 1 2267 -0.34131073 1.08856179 -19.555664 62.369996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08891737-1.08856179) × R
    0.000355580000000133 × 6371000     		dl = 2265.40018000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08891737-1.08856179) × R
    0.000355580000000133 × 6371000     		dr = 2265.40018000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34207772--0.34131073) × cos(1.08891737) × R
    0.000766989999999967 × 0.463444984547496 × 6371000     		do = 2264.6208072754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34207772--0.34131073) × cos(1.08856179) × R
    0.000766989999999967 × 0.463760043816948 × 6371000     		du = 2266.16034228153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08891737)-sin(1.08856179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463444984547496-0.463760043816948)×R²
    abs(-0.34131073--0.34207772)×0.000315059269451412×R²
    0.000766989999999967×0.000315059269451412×6371000²
    0.000766989999999967×0.000315059269451412×40589641000000     		ar = 5132016.26994672m²