Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3650 / 2264
↖ ↑ ↗
← N 62.431074°
W 19.599610°		 ← 2 261.54 m → N 62.431074°
W 19.555664°		 →
↑
2 262.28 m
↓
↑
2 262.28 m
↓
N 62.410729°
W 19.599610°		 ← 2 263.08 m →
5 117 982 m²		 N 62.410729°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44561767578125 y=0.27642822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44561767578125 × 213)
    floor (0.44561767578125 × 8192)
    floor (3650.5)     		tx = 3650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27642822265625 × 213)
    floor (0.27642822265625 × 8192)
    floor (2264.5)     		ty = 2264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3650 / 2264 ti = "13/3650/2264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3650/2264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3650 ÷ 213
    3650 ÷ 8192     		x = 0.445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2264 ÷ 213
    2264 ÷ 8192     		y = 0.2763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.10888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34207772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    0.447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40512640166309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34207772} λ = -0.34207772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40512640166309))-π/2
    2×atan(4.07604192718507)-π/2
    2×1.33021206384889-π/2
    2.66042412769777-1.57079632675     		φ = 1.08962780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34207772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.599610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08962780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.431074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3650 KachelY 2264 -0.34207772 1.08962780 -19.599610 62.431074
    Oben rechts KachelX + 1 3651 KachelY 2264 -0.34131073 1.08962780 -19.555664 62.431074
    Unten links KachelX 3650 KachelY + 1 2265 -0.34207772 1.08927271 -19.599610 62.410729
    Unten rechts KachelX + 1 3651 KachelY + 1 2265 -0.34131073 1.08927271 -19.555664 62.410729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08962780-1.08927271) × R
    0.000355090000000002 × 6371000     		dl = 2262.27839000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08962780-1.08927271) × R
    0.000355090000000002 × 6371000     		dr = 2262.27839000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34207772--0.34131073) × cos(1.08962780) × R
    0.000766989999999967 × 0.462815337370534 × 6371000     		do = 2261.54404057011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34207772--0.34131073) × cos(1.08927271) × R
    0.000766989999999967 × 0.463130079391079 × 6371000     		du = 2263.08202534158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08962780)-sin(1.08927271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462815337370534-0.463130079391079)×R²
    abs(-0.34131073--0.34207772)×0.000314742020544823×R²
    0.000766989999999967×0.000314742020544823×6371000²
    0.000766989999999967×0.000314742020544823×40589641000000     		ar = 5117981.93964814m²