Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36499 / 38035
↖ ↑ ↗
← S 27.775912°
E 20.494995°		 ← 540.47 m → S 27.775912°
E 20.500488°		 →
↑
540.39 m
↓
↑
540.39 m
↓
S 27.780771°
E 20.494995°		 ← 540.44 m →
292 056 m²		 S 27.780771°
E 20.500488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556938171386719 y=0.580375671386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556938171386719 × 216)
    floor (0.556938171386719 × 65536)
    floor (36499.5)     		tx = 36499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580375671386719 × 216)
    floor (0.580375671386719 × 65536)
    floor (38035.5)     		ty = 38035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36499 / 38035 ti = "16/36499/38035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36499/38035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36499 ÷ 216
    36499 ÷ 65536     		x = 0.556930541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38035 ÷ 216
    38035 ÷ 65536     		y = 0.580368041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556930541992188 × 2 - 1) × π
    0.113861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35770514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580368041992188 × 2 - 1) × π
    -0.160736083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.504967300597671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35770514} λ = 0.35770514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504967300597671))-π/2
    2×atan(0.603525310021312)-π/2
    2×0.543007608960882-π/2
    1.08601521792176-1.57079632675     		φ = -0.48478111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35770514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.494995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48478111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.775912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36499 KachelY 38035 0.35770514 -0.48478111 20.494995 -27.775912
    Oben rechts KachelX + 1 36500 KachelY 38035 0.35780102 -0.48478111 20.500488 -27.775912
    Unten links KachelX 36499 KachelY + 1 38036 0.35770514 -0.48486593 20.494995 -27.780771
    Unten rechts KachelX + 1 36500 KachelY + 1 38036 0.35780102 -0.48486593 20.500488 -27.780771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48478111--0.48486593) × R
    8.48199999999855e-05 × 6371000     		dl = 540.388219999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48478111--0.48486593) × R
    8.48199999999855e-05 × 6371000     		dr = 540.388219999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35770514-0.35780102) × cos(-0.48478111) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.884776976261872 × 6371000     		do = 540.467325419761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35770514-0.35780102) × cos(-0.48486593) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.88473744571218 × 6371000     		du = 540.443178124976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48478111)-sin(-0.48486593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884776976261872-0.88473744571218)×R²
    abs(0.35780102-0.35770514)×3.95305496917464e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.95305496917464e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.95305496917464e-05×40589641000000     		ar = 292055.651669905m²