Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36499 / 102568
↖ ↑ ↗
← S 70.765205°
W 79.752502°		 ← 100.60 m → S 70.765205°
W 79.749756°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
S 70.766111°
W 79.752502°		 ← 100.59 m →
10 126 m²		 S 70.766111°
W 79.749756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278469085693359 y=0.782535552978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278469085693359 × 217)
    floor (0.278469085693359 × 131072)
    floor (36499.5)     		tx = 36499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782535552978516 × 217)
    floor (0.782535552978516 × 131072)
    floor (102568.5)     		ty = 102568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36499 / 102568 ti = "17/36499/102568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36499/102568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36499 ÷ 217
    36499 ÷ 131072     		x = 0.278465270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102568 ÷ 217
    102568 ÷ 131072     		y = 0.78253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278465270996094 × 2 - 1) × π
    -0.443069458007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.39194375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78253173828125 × 2 - 1) × π
    -0.5650634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77519926672992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39194375} λ = -1.39194375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77519926672992))-π/2
    2×atan(0.169449680451349)-π/2
    2×0.167855246525151-π/2
    0.335710493050303-1.57079632675     		φ = -1.23508583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39194375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.752502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23508583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.765205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36499 KachelY 102568 -1.39194375 -1.23508583 -79.752502 -70.765205
    Oben rechts KachelX + 1 36500 KachelY 102568 -1.39189582 -1.23508583 -79.749756 -70.765205
    Unten links KachelX 36499 KachelY + 1 102569 -1.39194375 -1.23510163 -79.752502 -70.766111
    Unten rechts KachelX + 1 36500 KachelY + 1 102569 -1.39189582 -1.23510163 -79.749756 -70.766111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23508583--1.23510163) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dl = 100.661799999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23508583--1.23510163) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dr = 100.661799999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39194375--1.39189582) × cos(-1.23508583) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329440087333239 × 6371000     		do = 100.598493831517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39194375--1.39189582) × cos(-1.23510163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329425169303706 × 6371000     		du = 100.593938431735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23508583)-sin(-1.23510163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329440087333239-0.329425169303706)×R²
    abs(-1.39189582--1.39194375)×1.49180295330731e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49180295330731e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49180295330731e-05×40589641000000     		ar = 10126.1961893042m²