Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36498 / 47789
↖ ↑ ↗
← S 63.344737°
E 20.489502°		 ← 274.01 m → S 63.344737°
E 20.494995°		 →
↑
274.02 m
↓
↑
274.02 m
↓
S 63.347202°
E 20.489502°		 ← 273.99 m →
75 081 m²		 S 63.347202°
E 20.494995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556922912597656 y=0.729209899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556922912597656 × 216)
    floor (0.556922912597656 × 65536)
    floor (36498.5)     		tx = 36498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729209899902344 × 216)
    floor (0.729209899902344 × 65536)
    floor (47789.5)     		ty = 47789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36498 / 47789 ti = "16/36498/47789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36498/47789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36498 ÷ 216
    36498 ÷ 65536     		x = 0.556915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47789 ÷ 216
    47789 ÷ 65536     		y = 0.729202270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556915283203125 × 2 - 1) × π
    0.11383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35760927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729202270507812 × 2 - 1) × π
    -0.458404541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44012033838573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35760927} λ = 0.35760927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44012033838573))-π/2
    2×atan(0.236899248893553)-π/2
    2×0.232611049571975-π/2
    0.46522209914395-1.57079632675     		φ = -1.10557423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35760927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.489502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10557423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.344737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36498 KachelY 47789 0.35760927 -1.10557423 20.489502 -63.344737
    Oben rechts KachelX + 1 36499 KachelY 47789 0.35770514 -1.10557423 20.494995 -63.344737
    Unten links KachelX 36498 KachelY + 1 47790 0.35760927 -1.10561724 20.489502 -63.347202
    Unten rechts KachelX + 1 36499 KachelY + 1 47790 0.35770514 -1.10561724 20.494995 -63.347202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10557423--1.10561724) × R
    4.30099999999545e-05 × 6371000     		dl = 274.01670999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10557423--1.10561724) × R
    4.30099999999545e-05 × 6371000     		dr = 274.01670999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35760927-0.35770514) × cos(-1.10557423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44862130528926 × 6371000     		do = 274.012406632111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35760927-0.35770514) × cos(-1.10561724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448582865893247 × 6371000     		du = 273.988928319139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10557423)-sin(-1.10561724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44862130528926-0.448582865893247)×R²
    abs(0.35770514-0.35760927)×3.8439396013612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8439396013612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8439396013612e-05×40589641000000     		ar = 75080.7614505949m²