Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36495 / 102801
↖ ↑ ↗
← S 70.974924°
W 79.763489°		 ← 99.56 m → S 70.974924°
W 79.760742°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
S 70.975819°
W 79.763489°		 ← 99.56 m →
9 908 m²		 S 70.975819°
W 79.760742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278438568115234 y=0.784313201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278438568115234 × 217)
    floor (0.278438568115234 × 131072)
    floor (36495.5)     		tx = 36495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784313201904297 × 217)
    floor (0.784313201904297 × 131072)
    floor (102801.5)     		ty = 102801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36495 / 102801 ti = "17/36495/102801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36495/102801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36495 ÷ 217
    36495 ÷ 131072     		x = 0.278434753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102801 ÷ 217
    102801 ÷ 131072     		y = 0.784309387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278434753417969 × 2 - 1) × π
    -0.443130493164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.39213550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784309387207031 × 2 - 1) × π
    -0.568618774414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.78636856434139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39213550} λ = -1.39213550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78636856434139))-π/2
    2×atan(0.167567576993543)-π/2
    2×0.166025110548068-π/2
    0.332050221096136-1.57079632675     		φ = -1.23874611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39213550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.763489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23874611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.974924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36495 KachelY 102801 -1.39213550 -1.23874611 -79.763489 -70.974924
    Oben rechts KachelX + 1 36496 KachelY 102801 -1.39208756 -1.23874611 -79.760742 -70.974924
    Unten links KachelX 36495 KachelY + 1 102802 -1.39213550 -1.23876173 -79.763489 -70.975819
    Unten rechts KachelX + 1 36496 KachelY + 1 102802 -1.39208756 -1.23876173 -79.760742 -70.975819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23874611--1.23876173) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dl = 99.5150200006689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23874611--1.23876173) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dr = 99.5150200006689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39213550--1.39208756) × cos(-1.23874611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325981937898247 × 6371000     		do = 99.563274609141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39213550--1.39208756) × cos(-1.23876173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325967171085404 × 6371000     		du = 99.5587644444007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23874611)-sin(-1.23876173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325981937898247-0.325967171085404)×R²
    abs(-1.39208756--1.39213550)×1.47668128436806e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47668128436806e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47668128436806e-05×40589641000000     		ar = 9907.81684962032m²