Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36493 / 102583
↖ ↑ ↗
← S 70.778774°
W 79.768982°		 ← 100.55 m → S 70.778774°
W 79.766235°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
S 70.779678°
W 79.768982°		 ← 100.55 m →
10 109 m²		 S 70.779678°
W 79.766235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278423309326172 y=0.782649993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278423309326172 × 217)
    floor (0.278423309326172 × 131072)
    floor (36493.5)     		tx = 36493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782649993896484 × 217)
    floor (0.782649993896484 × 131072)
    floor (102583.5)     		ty = 102583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36493 / 102583 ti = "17/36493/102583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36493/102583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36493 ÷ 217
    36493 ÷ 131072     		x = 0.278419494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102583 ÷ 217
    102583 ÷ 131072     		y = 0.782646179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278419494628906 × 2 - 1) × π
    -0.443161010742188 × 3.1415926535     		Λ = -1.39223138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782646179199219 × 2 - 1) × π
    -0.565292358398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.77591832022422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39223138} λ = -1.39223138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77591832022422))-π/2
    2×atan(0.16932788086197)-π/2
    2×0.16773684420156-π/2
    0.335473688403119-1.57079632675     		φ = -1.23532264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39223138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.768982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23532264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.778774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36493 KachelY 102583 -1.39223138 -1.23532264 -79.768982 -70.778774
    Oben rechts KachelX + 1 36494 KachelY 102583 -1.39218344 -1.23532264 -79.766235 -70.778774
    Unten links KachelX 36493 KachelY + 1 102584 -1.39223138 -1.23533842 -79.768982 -70.779678
    Unten rechts KachelX + 1 36494 KachelY + 1 102584 -1.39218344 -1.23533842 -79.766235 -70.779678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23532264--1.23533842) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23532264--1.23533842) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39223138--1.39218344) × cos(-1.23532264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329216487665333 × 6371000     		do = 100.551189365319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39223138--1.39218344) × cos(-1.23533842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329201587288807 × 6371000     		du = 100.546638406793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23532264)-sin(-1.23533842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329216487665333-0.329201587288807)×R²
    abs(-1.39218344--1.39223138)×1.49003765259614e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49003765259614e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49003765259614e-05×40589641000000     		ar = 10108.622717438m²