Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36491 / 102582
↖ ↑ ↗
← S 70.777869°
W 79.774475°		 ← 100.56 m → S 70.777869°
W 79.771728°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
S 70.778774°
W 79.774475°		 ← 100.55 m →
10 109 m²		 S 70.778774°
W 79.771728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278408050537109 y=0.782642364501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278408050537109 × 217)
    floor (0.278408050537109 × 131072)
    floor (36491.5)     		tx = 36491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782642364501953 × 217)
    floor (0.782642364501953 × 131072)
    floor (102582.5)     		ty = 102582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36491 / 102582 ti = "17/36491/102582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36491/102582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36491 ÷ 217
    36491 ÷ 131072     		x = 0.278404235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102582 ÷ 217
    102582 ÷ 131072     		y = 0.782638549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278404235839844 × 2 - 1) × π
    -0.443191528320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.39232725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782638549804688 × 2 - 1) × π
    -0.565277099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7758703833246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39232725} λ = -1.39232725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7758703833246))-π/2
    2×atan(0.169335998110154)-π/2
    2×0.167744735189047-π/2
    0.335489470378094-1.57079632675     		φ = -1.23530686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39232725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.774475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23530686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.777869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36491 KachelY 102582 -1.39232725 -1.23530686 -79.774475 -70.777869
    Oben rechts KachelX + 1 36492 KachelY 102582 -1.39227931 -1.23530686 -79.771728 -70.777869
    Unten links KachelX 36491 KachelY + 1 102583 -1.39232725 -1.23532264 -79.774475 -70.778774
    Unten rechts KachelX + 1 36492 KachelY + 1 102583 -1.39227931 -1.23532264 -79.771728 -70.778774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23530686--1.23532264) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23530686--1.23532264) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39232725--1.39227931) × cos(-1.23530686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329231387959882 × 6371000     		do = 100.555740298808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39232725--1.39227931) × cos(-1.23532264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329216487665333 × 6371000     		du = 100.551189365319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23530686)-sin(-1.23532264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329231387959882-0.329216487665333)×R²
    abs(-1.39227931--1.39232725)×1.49002945483145e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49002945483145e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49002945483145e-05×40589641000000     		ar = 10109.0802438881m²