Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3649 / 3777
↖ ↑ ↗
← N 13.880746°
W 19.643555°		 ← 4 743.79 m → N 13.880746°
W 19.599610°		 →
↑
4 744.23 m
↓
↑
4 744.23 m
↓
N 13.838080°
W 19.643555°		 ← 4 744.67 m →
22 507 712 m²		 N 13.838080°
W 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44549560546875 y=0.46112060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44549560546875 × 213)
    floor (0.44549560546875 × 8192)
    floor (3649.5)     		tx = 3649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46112060546875 × 213)
    floor (0.46112060546875 × 8192)
    floor (3777.5)     		ty = 3777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3649 / 3777 ti = "13/3649/3777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3649/3777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3649 ÷ 213
    3649 ÷ 8192     		x = 0.4454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3777 ÷ 213
    3777 ÷ 8192     		y = 0.4610595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34284471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4610595703125 × 2 - 1) × π
    0.077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.244669935660767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34284471} λ = -0.34284471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244669935660767))-π/2
    2×atan(1.27719968555631)-π/2
    2×0.906530522181984-π/2
    1.81306104436397-1.57079632675     		φ = 0.24226472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34284471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24226472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.880746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3649 KachelY 3777 -0.34284471 0.24226472 -19.643555 13.880746
    Oben rechts KachelX + 1 3650 KachelY 3777 -0.34207772 0.24226472 -19.599610 13.880746
    Unten links KachelX 3649 KachelY + 1 3778 -0.34284471 0.24152006 -19.643555 13.838080
    Unten rechts KachelX + 1 3650 KachelY + 1 3778 -0.34207772 0.24152006 -19.599610 13.838080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24226472-0.24152006) × R
    0.00074465999999998 × 6371000     		dl = 4744.22885999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24226472-0.24152006) × R
    0.00074465999999998 × 6371000     		dr = 4744.22885999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34284471--0.34207772) × cos(0.24226472) × R
    0.000766990000000023 × 0.970797154445954 × 6371000     		do = 4743.79378115139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34284471--0.34207772) × cos(0.24152006) × R
    0.000766990000000023 × 0.970975530558847 × 6371000     		du = 4744.66541483014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24226472)-sin(0.24152006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970797154445954-0.970975530558847)×R²
    abs(-0.34207772--0.34284471)×0.00017837611289262×R²
    0.000766990000000023×0.00017837611289262×6371000²
    0.000766990000000023×0.00017837611289262×40589641000000     		ar = 22507712.017332m²