Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3649 / 2753
↖ ↑ ↗
← N 75.839794°
W 99.821777°		 ← 597.71 m → N 75.839794°
W 99.799804°		 →
↑
597.79 m
↓
↑
597.79 m
↓
N 75.834418°
W 99.821777°		 ← 597.93 m →
357 371 m²		 N 75.834418°
W 99.799804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222747802734375 y=0.168060302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222747802734375 × 214)
    floor (0.222747802734375 × 16384)
    floor (3649.5)     		tx = 3649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168060302734375 × 214)
    floor (0.168060302734375 × 16384)
    floor (2753.5)     		ty = 2753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3649 / 2753 ti = "14/3649/2753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3649/2753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3649 ÷ 214
    3649 ÷ 16384     		x = 0.22271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2753 ÷ 214
    2753 ÷ 16384     		y = 0.16802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.5545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74221868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16802978515625 × 2 - 1) × π
    0.6639404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.08583037626788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74221868} λ = -1.74221868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08583037626788))-π/2
    2×atan(8.05127429378919)-π/2
    2×1.44722522050586-π/2
    2.89445044101172-1.57079632675     		φ = 1.32365411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74221868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32365411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.839794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3649 KachelY 2753 -1.74221868 1.32365411 -99.821777 75.839794
    Oben rechts KachelX + 1 3650 KachelY 2753 -1.74183518 1.32365411 -99.799804 75.839794
    Unten links KachelX 3649 KachelY + 1 2754 -1.74221868 1.32356028 -99.821777 75.834418
    Unten rechts KachelX + 1 3650 KachelY + 1 2754 -1.74183518 1.32356028 -99.799804 75.834418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32365411-1.32356028) × R
    9.38300000001835e-05 × 6371000     		dl = 597.790930001169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32365411-1.32356028) × R
    9.38300000001835e-05 × 6371000     		dr = 597.790930001169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74221868--1.74183518) × cos(1.32365411) × R
    0.00038349999999987 × 0.244634011113413 × 6371000     		do = 597.709019721962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74221868--1.74183518) × cos(1.32356028) × R
    0.00038349999999987 × 0.244724989057924 × 6371000     		du = 597.931304177758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32365411)-sin(1.32356028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244634011113413-0.244724989057924)×R²
    abs(-1.74183518--1.74221868)×9.09779445104897e-05×R²
    0.00038349999999987×9.09779445104897e-05×6371000²
    0.00038349999999987×9.09779445104897e-05×40589641000000     		ar = 357371.470848424m²