Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3649 / 2265
↖ ↑ ↗
← N 62.410729°
W 19.643555°		 ← 2 263.08 m → N 62.410729°
W 19.599610°		 →
↑
2 263.87 m
↓
↑
2 263.87 m
↓
N 62.390370°
W 19.643555°		 ← 2 264.62 m →
5 125 068 m²		 N 62.390370°
W 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44549560546875 y=0.27655029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44549560546875 × 213)
    floor (0.44549560546875 × 8192)
    floor (3649.5)     		tx = 3649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27655029296875 × 213)
    floor (0.27655029296875 × 8192)
    floor (2265.5)     		ty = 2265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3649 / 2265 ti = "13/3649/2265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3649/2265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3649 ÷ 213
    3649 ÷ 8192     		x = 0.4454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2265 ÷ 213
    2265 ÷ 8192     		y = 0.2764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34284471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2764892578125 × 2 - 1) × π
    0.447021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.40435941126917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34284471} λ = -0.34284471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40435941126917))-π/2
    2×atan(4.07291684079052)-π/2
    2×1.33003451604322-π/2
    2.66006903208645-1.57079632675     		φ = 1.08927271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34284471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08927271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.410729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3649 KachelY 2265 -0.34284471 1.08927271 -19.643555 62.410729
    Oben rechts KachelX + 1 3650 KachelY 2265 -0.34207772 1.08927271 -19.599610 62.410729
    Unten links KachelX 3649 KachelY + 1 2266 -0.34284471 1.08891737 -19.643555 62.390370
    Unten rechts KachelX + 1 3650 KachelY + 1 2266 -0.34207772 1.08891737 -19.599610 62.390370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08927271-1.08891737) × R
    0.000355339999999815 × 6371000     		dl = 2263.87113999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08927271-1.08891737) × R
    0.000355339999999815 × 6371000     		dr = 2263.87113999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34284471--0.34207772) × cos(1.08927271) × R
    0.000766990000000023 × 0.463130079391079 × 6371000     		do = 2263.08202534174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34284471--0.34207772) × cos(1.08891737) × R
    0.000766990000000023 × 0.463444984547496 × 6371000     		du = 2264.62080727556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08927271)-sin(1.08891737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463130079391079-0.463444984547496)×R²
    abs(-0.34207772--0.34284471)×0.0003149051564173×R²
    0.000766990000000023×0.0003149051564173×6371000²
    0.000766990000000023×0.0003149051564173×40589641000000     		ar = 5125067.94055379m²