Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36489 / 105113
↖ ↑ ↗
← S 72.939792°
W 79.779968°		 ← 89.59 m → S 72.939792°
W 79.777222°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
S 72.940597°
W 79.779968°		 ← 89.58 m →
8 025 m²		 S 72.940597°
W 79.777222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278392791748047 y=0.801952362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278392791748047 × 217)
    floor (0.278392791748047 × 131072)
    floor (36489.5)     		tx = 36489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801952362060547 × 217)
    floor (0.801952362060547 × 131072)
    floor (105113.5)     		ty = 105113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36489 / 105113 ti = "17/36489/105113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36489/105113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36489 ÷ 217
    36489 ÷ 131072     		x = 0.278388977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105113 ÷ 217
    105113 ÷ 131072     		y = 0.801948547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278388977050781 × 2 - 1) × π
    -0.443222045898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.39242312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801948547363281 × 2 - 1) × π
    -0.603897094726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.89719867626296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39242312} λ = -1.39242312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89719867626296))-π/2
    2×atan(0.149988196757851)-π/2
    2×0.148878404076405-π/2
    0.297756808152811-1.57079632675     		φ = -1.27303952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39242312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.779968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27303952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.939792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36489 KachelY 105113 -1.39242312 -1.27303952 -79.779968 -72.939792
    Oben rechts KachelX + 1 36490 KachelY 105113 -1.39237519 -1.27303952 -79.777222 -72.939792
    Unten links KachelX 36489 KachelY + 1 105114 -1.39242312 -1.27305358 -79.779968 -72.940597
    Unten rechts KachelX + 1 36490 KachelY + 1 105114 -1.39237519 -1.27305358 -79.777222 -72.940597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27303952--1.27305358) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27303952--1.27305358) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39242312--1.39237519) × cos(-1.27303952) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.293376460621501 × 6371000     		do = 89.5860315692365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39242312--1.39237519) × cos(-1.27305358) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.29336301927477 × 6371000     		du = 89.5819270923126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27303952)-sin(-1.27305358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293376460621501-0.29336301927477)×R²
    abs(-1.39237519--1.39242312)×1.34413467317018e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.34413467317018e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.34413467317018e-05×40589641000000     		ar = 8024.59782447109m²