Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36489 / 102807
↖ ↑ ↗
← S 70.980295°
W 79.779968°		 ← 99.52 m → S 70.980295°
W 79.777222°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
S 70.981190°
W 79.779968°		 ← 99.51 m →
9 903 m²		 S 70.981190°
W 79.777222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278392791748047 y=0.784358978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278392791748047 × 217)
    floor (0.278392791748047 × 131072)
    floor (36489.5)     		tx = 36489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784358978271484 × 217)
    floor (0.784358978271484 × 131072)
    floor (102807.5)     		ty = 102807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36489 / 102807 ti = "17/36489/102807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36489/102807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36489 ÷ 217
    36489 ÷ 131072     		x = 0.278388977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102807 ÷ 217
    102807 ÷ 131072     		y = 0.784355163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278388977050781 × 2 - 1) × π
    -0.443222045898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.39242312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784355163574219 × 2 - 1) × π
    -0.568710327148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.78665618573911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39242312} λ = -1.39242312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78665618573911))-π/2
    2×atan(0.167519387903274)-π/2
    2×0.165978237230206-π/2
    0.331956474460413-1.57079632675     		φ = -1.23883985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39242312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.779968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23883985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.980295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36489 KachelY 102807 -1.39242312 -1.23883985 -79.779968 -70.980295
    Oben rechts KachelX + 1 36490 KachelY 102807 -1.39237519 -1.23883985 -79.777222 -70.980295
    Unten links KachelX 36489 KachelY + 1 102808 -1.39242312 -1.23885547 -79.779968 -70.981190
    Unten rechts KachelX + 1 36490 KachelY + 1 102808 -1.39237519 -1.23885547 -79.777222 -70.981190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23883985--1.23885547) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dl = 99.5150200006689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23883985--1.23885547) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dr = 99.5150200006689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39242312--1.39237519) × cos(-1.23883985) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.325893316920163 × 6371000     		do = 99.5154448177743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39242312--1.39237519) × cos(-1.23885547) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.325878549630086 × 6371000     		du = 99.5109354480988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23883985)-sin(-1.23885547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325893316920163-0.325878549630086)×R²
    abs(-1.39237519--1.39242312)×1.4767290076878e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.4767290076878e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.4767290076878e-05×40589641000000     		ar = 9903.05710660294m²