Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36488 / 47764
↖ ↑ ↗
← S 63.283062°
E 20.434570°		 ← 274.63 m → S 63.283062°
E 20.440064°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
S 63.285532°
E 20.434570°		 ← 274.60 m →
75 407 m²		 S 63.285532°
E 20.440064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556770324707031 y=0.728828430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556770324707031 × 216)
    floor (0.556770324707031 × 65536)
    floor (36488.5)     		tx = 36488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728828430175781 × 216)
    floor (0.728828430175781 × 65536)
    floor (47764.5)     		ty = 47764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36488 / 47764 ti = "16/36488/47764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36488/47764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36488 ÷ 216
    36488 ÷ 65536     		x = 0.5567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47764 ÷ 216
    47764 ÷ 65536     		y = 0.72882080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5567626953125 × 2 - 1) × π
    0.113525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35665053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72882080078125 × 2 - 1) × π
    -0.4576416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43772349340472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35665053} λ = 0.35665053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43772349340472))-π/2
    2×atan(0.237467740690463)-π/2
    2×0.233149263584499-π/2
    0.466298527168998-1.57079632675     		φ = -1.10449780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35665053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10449780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.283062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36488 KachelY 47764 0.35665053 -1.10449780 20.434570 -63.283062
    Oben rechts KachelX + 1 36489 KachelY 47764 0.35674641 -1.10449780 20.440064 -63.283062
    Unten links KachelX 36488 KachelY + 1 47765 0.35665053 -1.10454090 20.434570 -63.285532
    Unten rechts KachelX + 1 36489 KachelY + 1 47765 0.35674641 -1.10454090 20.440064 -63.285532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10449780--1.10454090) × R
    4.30999999998516e-05 × 6371000     		dl = 274.590099999054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10449780--1.10454090) × R
    4.30999999998516e-05 × 6371000     		dr = 274.590099999054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35665053-0.35674641) × cos(-1.10449780) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449583074313359 × 6371000     		do = 274.628486327244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35665053-0.35674641) × cos(-1.10454090) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449544575315447 × 6371000     		du = 274.604969157391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10449780)-sin(-1.10454090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449583074313359-0.449544575315447)×R²
    abs(0.35674641-0.35665053)×3.84989979119732e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.84989979119732e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.84989979119732e-05×40589641000000     		ar = 75407.0347439569m²