Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36488 / 105129
↖ ↑ ↗
← S 72.952679°
W 79.782715°		 ← 89.54 m → S 72.952679°
W 79.779968°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
S 72.953485°
W 79.782715°		 ← 89.53 m →
8 020 m²		 S 72.953485°
W 79.779968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278385162353516 y=0.802074432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278385162353516 × 217)
    floor (0.278385162353516 × 131072)
    floor (36488.5)     		tx = 36488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802074432373047 × 217)
    floor (0.802074432373047 × 131072)
    floor (105129.5)     		ty = 105129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36488 / 105129 ti = "17/36488/105129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36488/105129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36488 ÷ 217
    36488 ÷ 131072     		x = 0.27838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105129 ÷ 217
    105129 ÷ 131072     		y = 0.802070617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.4432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39247106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802070617675781 × 2 - 1) × π
    -0.604141235351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.89796566665688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39247106} λ = -1.39247106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89796566665688))-π/2
    2×atan(0.149873201357557)-π/2
    2×0.148765936851109-π/2
    0.297531873702217-1.57079632675     		φ = -1.27326445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39247106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.782715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27326445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.952679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36488 KachelY 105129 -1.39247106 -1.27326445 -79.782715 -72.952679
    Oben rechts KachelX + 1 36489 KachelY 105129 -1.39242312 -1.27326445 -79.779968 -72.952679
    Unten links KachelX 36488 KachelY + 1 105130 -1.39247106 -1.27327851 -79.782715 -72.953485
    Unten rechts KachelX + 1 36489 KachelY + 1 105130 -1.39242312 -1.27327851 -79.779968 -72.953485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27326445--1.27327851) × R
    1.40599999998159e-05 × 6371000     		dl = 89.576259998827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27326445--1.27327851) × R
    1.40599999998159e-05 × 6371000     		dr = 89.576259998827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39247106--1.39242312) × cos(-1.27326445) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.293161420798004 × 6371000     		do = 89.5390438870377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39247106--1.39242312) × cos(-1.27327851) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.293147978523826 × 6371000     		du = 89.5349382704996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27326445)-sin(-1.27327851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293161420798004-0.293147978523826)×R²
    abs(-1.39242312--1.39247106)×1.34422741779328e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.34422741779328e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.34422741779328e-05×40589641000000     		ar = 8020.38879251687m²