Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36487 / 27671
↖ ↑ ↗
← N 26.946556°
E 20.429077°		 ← 544.47 m → N 26.946556°
E 20.434570°		 →
↑
544.47 m
↓
↑
544.47 m
↓
N 26.941660°
E 20.429077°		 ← 544.50 m →
296 454 m²		 N 26.941660°
E 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556755065917969 y=0.422233581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556755065917969 × 216)
    floor (0.556755065917969 × 65536)
    floor (36487.5)     		tx = 36487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422233581542969 × 216)
    floor (0.422233581542969 × 65536)
    floor (27671.5)     		ty = 27671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36487 / 27671 ti = "16/36487/27671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36487/27671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36487 ÷ 216
    36487 ÷ 65536     		x = 0.556747436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27671 ÷ 216
    27671 ÷ 65536     		y = 0.422225952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556747436523438 × 2 - 1) × π
    0.113494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35655466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422225952148438 × 2 - 1) × π
    0.155548095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.488668754726852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35655466} λ = 0.35655466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488668754726852))-π/2
    2×atan(1.63014465246846)-π/2
    2×1.02055122920002-π/2
    2.04110245840005-1.57079632675     		φ = 0.47030613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35655466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.429077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47030613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.946556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36487 KachelY 27671 0.35655466 0.47030613 20.429077 26.946556
    Oben rechts KachelX + 1 36488 KachelY 27671 0.35665053 0.47030613 20.434570 26.946556
    Unten links KachelX 36487 KachelY + 1 27672 0.35655466 0.47022067 20.429077 26.941660
    Unten rechts KachelX + 1 36488 KachelY + 1 27672 0.35665053 0.47022067 20.434570 26.941660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47030613-0.47022067) × R
    8.54599999999817e-05 × 6371000     		dl = 544.465659999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47030613-0.47022067) × R
    8.54599999999817e-05 × 6371000     		dr = 544.465659999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35655466-0.35665053) × cos(0.47030613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891429604342033 × 6371000     		do = 544.474300148041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35655466-0.35665053) × cos(0.47022067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891468328071976 × 6371000     		du = 544.497952128698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47030613)-sin(0.47022067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891429604342033-0.891468328071976)×R²
    abs(0.35665053-0.35655466)×3.87237299421805e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87237299421805e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87237299421805e-05×40589641000000     		ar = 296453.998209135m²