Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36487 / 102815
↖ ↑ ↗
← S 70.987455°
W 79.785462°		 ← 99.50 m → S 70.987455°
W 79.782715°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
S 70.988349°
W 79.785462°		 ← 99.50 m →
9 895 m²		 S 70.988349°
W 79.782715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278377532958984 y=0.784420013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278377532958984 × 217)
    floor (0.278377532958984 × 131072)
    floor (36487.5)     		tx = 36487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784420013427734 × 217)
    floor (0.784420013427734 × 131072)
    floor (102815.5)     		ty = 102815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36487 / 102815 ti = "17/36487/102815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36487/102815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36487 ÷ 217
    36487 ÷ 131072     		x = 0.278373718261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102815 ÷ 217
    102815 ÷ 131072     		y = 0.784416198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278373718261719 × 2 - 1) × π
    -0.443252563476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.39251900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784416198730469 × 2 - 1) × π
    -0.568832397460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.78703968093607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39251900} λ = -1.39251900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78703968093607))-π/2
    2×atan(0.167455157339459)-π/2
    2×0.165915759296561-π/2
    0.331831518593122-1.57079632675     		φ = -1.23896481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39251900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.785462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23896481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.987455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36487 KachelY 102815 -1.39251900 -1.23896481 -79.785462 -70.987455
    Oben rechts KachelX + 1 36488 KachelY 102815 -1.39247106 -1.23896481 -79.782715 -70.987455
    Unten links KachelX 36487 KachelY + 1 102816 -1.39251900 -1.23898042 -79.785462 -70.988349
    Unten rechts KachelX + 1 36488 KachelY + 1 102816 -1.39247106 -1.23898042 -79.782715 -70.988349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23896481--1.23898042) × R
    1.56100000001658e-05 × 6371000     		dl = 99.4513100010561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23896481--1.23898042) × R
    1.56100000001658e-05 × 6371000     		dr = 99.4513100010561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39251900--1.39247106) × cos(-1.23896481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325775176373491 × 6371000     		do = 99.5001243174387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39251900--1.39247106) × cos(-1.23898042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325760417901964 × 6371000     		du = 99.4956167003514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23896481)-sin(-1.23898042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325775176373491-0.325760417901964)×R²
    abs(-1.39247106--1.39251900)×1.47584715268212e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47584715268212e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47584715268212e-05×40589641000000     		ar = 9895.19356468339m²