Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36485 / 39144
↖ ↑ ↗
← S 33.027088°
E 20.418091°		 ← 512.15 m → S 33.027088°
E 20.423584°		 →
↑
512.10 m
↓
↑
512.10 m
↓
S 33.031693°
E 20.418091°		 ← 512.12 m →
262 264 m²		 S 33.031693°
E 20.423584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556724548339844 y=0.597297668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556724548339844 × 216)
    floor (0.556724548339844 × 65536)
    floor (36485.5)     		tx = 36485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597297668457031 × 216)
    floor (0.597297668457031 × 65536)
    floor (39144.5)     		ty = 39144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36485 / 39144 ti = "16/36485/39144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36485/39144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36485 ÷ 216
    36485 ÷ 65536     		x = 0.556716918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39144 ÷ 216
    39144 ÷ 65536     		y = 0.5972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556716918945312 × 2 - 1) × π
    0.113433837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35636291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.611291343954956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35636291} λ = 0.35636291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611291343954956))-π/2
    2×atan(0.542649669056944)-π/2
    2×0.497182453096759-π/2
    0.994364906193518-1.57079632675     		φ = -0.57643142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35636291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.418091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57643142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.027088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36485 KachelY 39144 0.35636291 -0.57643142 20.418091 -33.027088
    Oben rechts KachelX + 1 36486 KachelY 39144 0.35645879 -0.57643142 20.423584 -33.027088
    Unten links KachelX 36485 KachelY + 1 39145 0.35636291 -0.57651180 20.418091 -33.031693
    Unten rechts KachelX + 1 36486 KachelY + 1 39145 0.35645879 -0.57651180 20.423584 -33.031693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57643142--0.57651180) × R
    8.0379999999991e-05 × 6371000     		dl = 512.100979999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57643142--0.57651180) × R
    8.0379999999991e-05 × 6371000     		dr = 512.100979999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35636291-0.35645879) × cos(-0.57643142) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.838412986953479 × 6371000     		do = 512.14581393201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35636291-0.35645879) × cos(-0.57651180) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.838369174293996 × 6371000     		du = 512.119050904123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57643142)-sin(-0.57651180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838412986953479-0.838369174293996)×R²
    abs(0.35645879-0.35636291)×4.38126594828336e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.38126594828336e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.38126594828336e-05×40589641000000     		ar = 262263.520672644m²