Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36483 / 39188
↖ ↑ ↗
← S 33.229498°
E 20.407104°		 ← 510.97 m → S 33.229498°
E 20.412598°		 →
↑
510.95 m
↓
↑
510.95 m
↓
S 33.234093°
E 20.407104°		 ← 510.94 m →
261 074 m²		 S 33.234093°
E 20.412598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556694030761719 y=0.597969055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556694030761719 × 216)
    floor (0.556694030761719 × 65536)
    floor (36483.5)     		tx = 36483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597969055175781 × 216)
    floor (0.597969055175781 × 65536)
    floor (39188.5)     		ty = 39188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36483 / 39188 ti = "16/36483/39188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36483/39188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36483 ÷ 216
    36483 ÷ 65536     		x = 0.556686401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39188 ÷ 216
    39188 ÷ 65536     		y = 0.59796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556686401367188 × 2 - 1) × π
    0.113372802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35617116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.1959228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.615509791121521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35617116} λ = 0.35617116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615509791121521))-π/2
    2×atan(0.540365351621787)-π/2
    2×0.495416087727991-π/2
    0.990832175455982-1.57079632675     		φ = -0.57996415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35617116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.407104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57996415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.229498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36483 KachelY 39188 0.35617116 -0.57996415 20.407104 -33.229498
    Oben rechts KachelX + 1 36484 KachelY 39188 0.35626704 -0.57996415 20.412598 -33.229498
    Unten links KachelX 36483 KachelY + 1 39189 0.35617116 -0.58004435 20.407104 -33.234093
    Unten rechts KachelX + 1 36484 KachelY + 1 39189 0.35626704 -0.58004435 20.412598 -33.234093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57996415--0.58004435) × R
    8.01999999999747e-05 × 6371000     		dl = 510.954199999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57996415--0.58004435) × R
    8.01999999999747e-05 × 6371000     		dr = 510.954199999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35617116-0.35626704) × cos(-0.57996415) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.836482296035796 × 6371000     		do = 510.966448527225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35617116-0.35626704) × cos(-0.58004435) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.83643834423097 × 6371000     		du = 510.939600502198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57996415)-sin(-0.58004435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836482296035796-0.83643834423097)×R²
    abs(0.35626704-0.35617116)×4.39518048267473e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39518048267473e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39518048267473e-05×40589641000000     		ar = 261073.594018705m²