Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36482 / 47763
↖ ↑ ↗
← S 63.280592°
E 20.401611°		 ← 274.62 m → S 63.280592°
E 20.407104°		 →
↑
274.65 m
↓
↑
274.65 m
↓
S 63.283062°
E 20.401611°		 ← 274.60 m →
75 423 m²		 S 63.283062°
E 20.407104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556678771972656 y=0.728813171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556678771972656 × 216)
    floor (0.556678771972656 × 65536)
    floor (36482.5)     		tx = 36482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728813171386719 × 216)
    floor (0.728813171386719 × 65536)
    floor (47763.5)     		ty = 47763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36482 / 47763 ti = "16/36482/47763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36482/47763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36482 ÷ 216
    36482 ÷ 65536     		x = 0.556671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47763 ÷ 216
    47763 ÷ 65536     		y = 0.728805541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556671142578125 × 2 - 1) × π
    0.11334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35607529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728805541992188 × 2 - 1) × π
    -0.457611083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43762761960548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35607529} λ = 0.35607529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43762761960548))-π/2
    2×atan(0.237490508716371)-π/2
    2×0.233170816126059-π/2
    0.466341632252118-1.57079632675     		φ = -1.10445469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35607529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.401611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10445469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.280592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36482 KachelY 47763 0.35607529 -1.10445469 20.401611 -63.280592
    Oben rechts KachelX + 1 36483 KachelY 47763 0.35617116 -1.10445469 20.407104 -63.280592
    Unten links KachelX 36482 KachelY + 1 47764 0.35607529 -1.10449780 20.401611 -63.283062
    Unten rechts KachelX + 1 36483 KachelY + 1 47764 0.35617116 -1.10449780 20.407104 -63.283062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10445469--1.10449780) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dl = 274.653810000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10445469--1.10449780) × R
    4.31100000000129e-05 × 6371000     		dr = 274.653810000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35607529-0.35617116) × cos(-1.10445469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449621581408312 × 6371000     		do = 274.62336305225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35607529-0.35617116) × cos(-1.10449780) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449583074313359 × 6371000     		du = 274.599843389595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10445469)-sin(-1.10449780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449621581408312-0.449583074313359)×R²
    abs(0.35617116-0.35607529)×3.85070949535105e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85070949535105e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85070949535105e-05×40589641000000     		ar = 75423.1231066724m²