Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36482 / 102538
↖ ↑ ↗
← S 70.738042°
W 79.799194°		 ← 100.76 m → S 70.738042°
W 79.796447°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
S 70.738948°
W 79.799194°		 ← 100.75 m →
10 155 m²		 S 70.738948°
W 79.796447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278339385986328 y=0.782306671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278339385986328 × 217)
    floor (0.278339385986328 × 131072)
    floor (36482.5)     		tx = 36482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782306671142578 × 217)
    floor (0.782306671142578 × 131072)
    floor (102538.5)     		ty = 102538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36482 / 102538 ti = "17/36482/102538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36482/102538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36482 ÷ 217
    36482 ÷ 131072     		x = 0.278335571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102538 ÷ 217
    102538 ÷ 131072     		y = 0.782302856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278335571289062 × 2 - 1) × π
    -0.443328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39275868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782302856445312 × 2 - 1) × π
    -0.564605712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77376115974132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39275868} λ = -1.39275868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77376115974132))-π/2
    2×atan(0.169693542528872)-π/2
    2×0.168092292456937-π/2
    0.336184584913875-1.57079632675     		φ = -1.23461174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39275868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.799194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23461174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.738042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36482 KachelY 102538 -1.39275868 -1.23461174 -79.799194 -70.738042
    Oben rechts KachelX + 1 36483 KachelY 102538 -1.39271074 -1.23461174 -79.796447 -70.738042
    Unten links KachelX 36482 KachelY + 1 102539 -1.39275868 -1.23462756 -79.799194 -70.738948
    Unten rechts KachelX + 1 36483 KachelY + 1 102539 -1.39271074 -1.23462756 -79.796447 -70.738948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23461174--1.23462756) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23461174--1.23462756) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39275868--1.39271074) × cos(-1.23461174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329887674922051 × 6371000     		do = 100.756187229881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39275868--1.39271074) × cos(-1.23462756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329872740481341 × 6371000     		du = 100.751625867276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23461174)-sin(-1.23462756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329887674922051-0.329872740481341)×R²
    abs(-1.39271074--1.39275868)×1.49344407095464e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49344407095464e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49344407095464e-05×40589641000000     		ar = 10154.9076533171m²