Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36481 / 47762
↖ ↑ ↗
← S 63.278123°
E 20.396118°		 ← 274.65 m → S 63.278123°
E 20.401611°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
S 63.280592°
E 20.396118°		 ← 274.62 m →
75 412 m²		 S 63.280592°
E 20.401611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556663513183594 y=0.728797912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556663513183594 × 216)
    floor (0.556663513183594 × 65536)
    floor (36481.5)     		tx = 36481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728797912597656 × 216)
    floor (0.728797912597656 × 65536)
    floor (47762.5)     		ty = 47762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36481 / 47762 ti = "16/36481/47762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36481/47762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36481 ÷ 216
    36481 ÷ 65536     		x = 0.556655883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47762 ÷ 216
    47762 ÷ 65536     		y = 0.728790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556655883789062 × 2 - 1) × π
    0.113311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35597942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.45758056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43753174580624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35597942} λ = 0.35597942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43753174580624))-π/2
    2×atan(0.237513278925241)-π/2
    2×0.233192370513379-π/2
    0.466384741026758-1.57079632675     		φ = -1.10441159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35597942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.396118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10441159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.278123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36481 KachelY 47762 0.35597942 -1.10441159 20.396118 -63.278123
    Oben rechts KachelX + 1 36482 KachelY 47762 0.35607529 -1.10441159 20.401611 -63.278123
    Unten links KachelX 36481 KachelY + 1 47763 0.35597942 -1.10445469 20.396118 -63.280592
    Unten rechts KachelX + 1 36482 KachelY + 1 47763 0.35607529 -1.10445469 20.401611 -63.280592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10441159--1.10445469) × R
    4.31000000000736e-05 × 6371000     		dl = 274.590100000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10441159--1.10445469) × R
    4.31000000000736e-05 × 6371000     		dr = 274.590100000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35597942-0.35607529) × cos(-1.10441159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449660078735659 × 6371000     		do = 274.646876748972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35597942-0.35607529) × cos(-1.10445469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449621581408312 × 6371000     		du = 274.62336305225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10441159)-sin(-1.10445469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449660078735659-0.449621581408312)×R²
    abs(0.35607529-0.35597942)×3.84973273468425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84973273468425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84973273468425e-05×40589641000000     		ar = 75412.0850488801m²