Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3648 / 4545
↖ ↑ ↗
← N 62.257696°
W 99.843750°		 ← 1 137.31 m → N 62.257696°
W 99.821777°		 →
↑
1 137.48 m
↓
↑
1 137.48 m
↓
N 62.247466°
W 99.843750°		 ← 1 137.69 m →
1 293 880 m²		 N 62.247466°
W 99.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222686767578125 y=0.277435302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222686767578125 × 214)
    floor (0.222686767578125 × 16384)
    floor (3648.5)     		tx = 3648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277435302734375 × 214)
    floor (0.277435302734375 × 16384)
    floor (4545.5)     		ty = 4545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3648 / 4545 ti = "14/3648/4545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3648/4545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3648 ÷ 214
    3648 ÷ 16384     		x = 0.22265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4545 ÷ 214
    4545 ÷ 16384     		y = 0.27740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22265625 × 2 - 1) × π
    -0.5546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74260217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27740478515625 × 2 - 1) × π
    0.4451904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.39860698331476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74260217} λ = -1.74260217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39860698331476))-π/2
    2×atan(4.04955493835115)-π/2
    2×1.3286990549934-π/2
    2.65739810998679-1.57079632675     		φ = 1.08660178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74260217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08660178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.257696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3648 KachelY 4545 -1.74260217 1.08660178 -99.843750 62.257696
    Oben rechts KachelX + 1 3649 KachelY 4545 -1.74221868 1.08660178 -99.821777 62.257696
    Unten links KachelX 3648 KachelY + 1 4546 -1.74260217 1.08642324 -99.843750 62.247466
    Unten rechts KachelX + 1 3649 KachelY + 1 4546 -1.74221868 1.08642324 -99.821777 62.247466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08660178-1.08642324) × R
    0.00017854000000006 × 6371000     		dl = 1137.47834000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08660178-1.08642324) × R
    0.00017854000000006 × 6371000     		dr = 1137.47834000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74260217--1.74221868) × cos(1.08660178) × R
    0.000383490000000153 × 0.465495644025023 × 6371000     		do = 1137.30584216296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74260217--1.74221868) × cos(1.08642324) × R
    0.000383490000000153 × 0.465653653462541 × 6371000     		du = 1137.69189315767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08660178)-sin(1.08642324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465495644025023-0.465653653462541)×R²
    abs(-1.74221868--1.74260217)×0.000158009437518425×R²
    0.000383490000000153×0.000158009437518425×6371000²
    0.000383490000000153×0.000158009437518425×40589641000000     		ar = 1293880.32717573m²