Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3648 / 4543
↖ ↑ ↗
← N 62.278145°
W 99.843750°		 ← 1 136.53 m → N 62.278145°
W 99.821777°		 →
↑
1 136.71 m
↓
↑
1 136.71 m
↓
N 62.267923°
W 99.843750°		 ← 1 136.92 m →
1 292 133 m²		 N 62.267923°
W 99.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222686767578125 y=0.277313232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222686767578125 × 214)
    floor (0.222686767578125 × 16384)
    floor (3648.5)     		tx = 3648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277313232421875 × 214)
    floor (0.277313232421875 × 16384)
    floor (4543.5)     		ty = 4543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3648 / 4543 ti = "14/3648/4543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3648/4543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3648 ÷ 214
    3648 ÷ 16384     		x = 0.22265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4543 ÷ 214
    4543 ÷ 16384     		y = 0.27728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22265625 × 2 - 1) × π
    -0.5546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74260217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27728271484375 × 2 - 1) × π
    0.4454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39937397370868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74260217} λ = -1.74260217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39937397370868))-π/2
    2×atan(4.05266209951759)-π/2
    2×1.32887750975558-π/2
    2.65775501951117-1.57079632675     		φ = 1.08695869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74260217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08695869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.278145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3648 KachelY 4543 -1.74260217 1.08695869 -99.843750 62.278145
    Oben rechts KachelX + 1 3649 KachelY 4543 -1.74221868 1.08695869 -99.821777 62.278145
    Unten links KachelX 3648 KachelY + 1 4544 -1.74260217 1.08678027 -99.843750 62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 3649 KachelY + 1 4544 -1.74221868 1.08678027 -99.821777 62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08695869-1.08678027) × R
    0.000178419999999901 × 6371000     		dl = 1136.71381999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08695869-1.08678027) × R
    0.000178419999999901 × 6371000     		dr = 1136.71381999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74260217--1.74221868) × cos(1.08695869) × R
    0.000383490000000153 × 0.465179731126633 × 6371000     		do = 1136.53399909727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74260217--1.74221868) × cos(1.08678027) × R
    0.000383490000000153 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 1136.91986304343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08695869)-sin(1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465179731126633-0.46533766400578)×R²
    abs(-1.74221868--1.74260217)×0.000157932879146894×R²
    0.000383490000000153×0.000157932879146894×6371000²
    0.000383490000000153×0.000157932879146894×40589641000000     		ar = 1292133.21554088m²