Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36479 / 102641
↖ ↑ ↗
← S 70.831149°
W 79.807434°		 ← 100.27 m → S 70.831149°
W 79.804688°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
S 70.832051°
W 79.807434°		 ← 100.26 m →
10 054 m²		 S 70.832051°
W 79.804688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278316497802734 y=0.783092498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278316497802734 × 217)
    floor (0.278316497802734 × 131072)
    floor (36479.5)     		tx = 36479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783092498779297 × 217)
    floor (0.783092498779297 × 131072)
    floor (102641.5)     		ty = 102641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36479 / 102641 ti = "17/36479/102641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36479/102641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36479 ÷ 217
    36479 ÷ 131072     		x = 0.278312683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102641 ÷ 217
    102641 ÷ 131072     		y = 0.783088684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278312683105469 × 2 - 1) × π
    -0.443374633789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.39290249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783088684082031 × 2 - 1) × π
    -0.566177368164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.77869866040218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39290249} λ = -1.39290249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77869866040218))-π/2
    2×atan(0.168857745622365)-π/2
    2×0.167279777591407-π/2
    0.334559555182814-1.57079632675     		φ = -1.23623677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39290249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.807434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23623677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.831149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36479 KachelY 102641 -1.39290249 -1.23623677 -79.807434 -70.831149
    Oben rechts KachelX + 1 36480 KachelY 102641 -1.39285456 -1.23623677 -79.804688 -70.831149
    Unten links KachelX 36479 KachelY + 1 102642 -1.39290249 -1.23625251 -79.807434 -70.832051
    Unten rechts KachelX + 1 36480 KachelY + 1 102642 -1.39285456 -1.23625251 -79.804688 -70.832051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23623677--1.23625251) × R
    1.57399999998198e-05 × 6371000     		dl = 100.279539998852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23623677--1.23625251) × R
    1.57399999998198e-05 × 6371000     		dr = 100.279539998852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39290249--1.39285456) × cos(-1.23623677) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.328353178894644 × 6371000     		do = 100.266593264283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39290249--1.39285456) × cos(-1.23625251) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.328338311557921 × 6371000     		du = 100.262053344161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23623677)-sin(-1.23625251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328353178894644-0.328338311557921)×R²
    abs(-1.39285456--1.39290249)×1.48673367225127e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48673367225127e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48673367225127e-05×40589641000000     		ar = 10054.4602196284m²