Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36476 / 47748
↖ ↑ ↗
← S 63.243521°
E 20.368652°		 ← 274.98 m → S 63.243521°
E 20.374145°		 →
↑
274.97 m
↓
↑
274.97 m
↓
S 63.245994°
E 20.368652°		 ← 274.95 m →
75 608 m²		 S 63.245994°
E 20.374145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556587219238281 y=0.728584289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556587219238281 × 216)
    floor (0.556587219238281 × 65536)
    floor (36476.5)     		tx = 36476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728584289550781 × 216)
    floor (0.728584289550781 × 65536)
    floor (47748.5)     		ty = 47748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36476 / 47748 ti = "16/36476/47748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36476/47748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36476 ÷ 216
    36476 ÷ 65536     		x = 0.55657958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47748 ÷ 216
    47748 ÷ 65536     		y = 0.72857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55657958984375 × 2 - 1) × π
    0.1131591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35550005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72857666015625 × 2 - 1) × π
    -0.4571533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43618951261688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35550005} λ = 0.35550005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43618951261688))-π/2
    2×atan(0.237832291177651)-π/2
    2×0.233494325806653-π/2
    0.466988651613307-1.57079632675     		φ = -1.10380768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35550005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.368652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10380768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.243521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36476 KachelY 47748 0.35550005 -1.10380768 20.368652 -63.243521
    Oben rechts KachelX + 1 36477 KachelY 47748 0.35559592 -1.10380768 20.374145 -63.243521
    Unten links KachelX 36476 KachelY + 1 47749 0.35550005 -1.10385084 20.368652 -63.245994
    Unten rechts KachelX + 1 36477 KachelY + 1 47749 0.35559592 -1.10385084 20.374145 -63.245994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10380768--1.10385084) × R
    4.3159999999931e-05 × 6371000     		dl = 274.972359999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10380768--1.10385084) × R
    4.3159999999931e-05 × 6371000     		dr = 274.972359999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35550005-0.35559592) × cos(-1.10380768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450199408973568 × 6371000     		do = 274.976293062278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35550005-0.35559592) × cos(-1.10385084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450160869779879 × 6371000     		du = 274.952753794107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10380768)-sin(-1.10385084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450199408973568-0.450160869779879)×R²
    abs(0.35559592-0.35550005)×3.85391936891244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85391936891244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85391936891244e-05×40589641000000     		ar = 75607.6439350109m²