Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36475 / 102650
↖ ↑ ↗
← S 70.839264°
W 79.818420°		 ← 100.25 m → S 70.839264°
W 79.815674°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
S 70.840166°
W 79.818420°		 ← 100.24 m →
10 052 m²		 S 70.840166°
W 79.815674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278285980224609 y=0.783161163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278285980224609 × 217)
    floor (0.278285980224609 × 131072)
    floor (36475.5)     		tx = 36475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783161163330078 × 217)
    floor (0.783161163330078 × 131072)
    floor (102650.5)     		ty = 102650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36475 / 102650 ti = "17/36475/102650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36475/102650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36475 ÷ 217
    36475 ÷ 131072     		x = 0.278282165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102650 ÷ 217
    102650 ÷ 131072     		y = 0.783157348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278282165527344 × 2 - 1) × π
    -0.443435668945312 × 3.1415926535     		Λ = -1.39309424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783157348632812 × 2 - 1) × π
    -0.566314697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77913009249876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39309424} λ = -1.39309424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77913009249876))-π/2
    2×atan(0.168784910683942)-π/2
    2×0.167208960972046-π/2
    0.334417921944091-1.57079632675     		φ = -1.23637840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39309424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.818420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23637840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.839264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36475 KachelY 102650 -1.39309424 -1.23637840 -79.818420 -70.839264
    Oben rechts KachelX + 1 36476 KachelY 102650 -1.39304630 -1.23637840 -79.815674 -70.839264
    Unten links KachelX 36475 KachelY + 1 102651 -1.39309424 -1.23639414 -79.818420 -70.840166
    Unten rechts KachelX + 1 36476 KachelY + 1 102651 -1.39304630 -1.23639414 -79.815674 -70.840166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23637840--1.23639414) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dl = 100.279540000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23637840--1.23639414) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dr = 100.279540000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39309424--1.39304630) × cos(-1.23637840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328219398274073 × 6371000     		do = 100.246652600148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39309424--1.39304630) × cos(-1.23639414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328204530205533 × 6371000     		du = 100.242111509311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23637840)-sin(-1.23639414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328219398274073-0.328204530205533)×R²
    abs(-1.39304630--1.39309424)×1.48680685404523e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48680685404523e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48680685404523e-05×40589641000000     		ar = 10052.4605203255m²