Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36474 / 105305
↖ ↑ ↗
← S 73.093823°
W 79.821167°		 ← 88.82 m → S 73.093823°
W 79.818420°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
S 73.094621°
W 79.821167°		 ← 88.82 m →
7 888 m²		 S 73.094621°
W 79.818420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278278350830078 y=0.803417205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278278350830078 × 217)
    floor (0.278278350830078 × 131072)
    floor (36474.5)     		tx = 36474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803417205810547 × 217)
    floor (0.803417205810547 × 131072)
    floor (105305.5)     		ty = 105305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36474 / 105305 ti = "17/36474/105305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36474/105305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36474 ÷ 217
    36474 ÷ 131072     		x = 0.278274536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105305 ÷ 217
    105305 ÷ 131072     		y = 0.803413391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278274536132812 × 2 - 1) × π
    -0.443450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39314218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803413391113281 × 2 - 1) × π
    -0.606826782226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.90640256099001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39314218} λ = -1.39314218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90640256099001))-π/2
    2×atan(0.148614056101021)-π/2
    2×0.147534226442858-π/2
    0.295068452885715-1.57079632675     		φ = -1.27572787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39314218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.821167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27572787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.093823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36474 KachelY 105305 -1.39314218 -1.27572787 -79.821167 -73.093823
    Oben rechts KachelX + 1 36475 KachelY 105305 -1.39309424 -1.27572787 -79.818420 -73.093823
    Unten links KachelX 36474 KachelY + 1 105306 -1.39314218 -1.27574181 -79.821167 -73.094621
    Unten rechts KachelX + 1 36475 KachelY + 1 105306 -1.39309424 -1.27574181 -79.818420 -73.094621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27572787--1.27574181) × R
    1.3939999999879e-05 × 6371000     		dl = 88.8117399992294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27572787--1.27574181) × R
    1.3939999999879e-05 × 6371000     		dr = 88.8117399992294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39314218--1.39309424) × cos(-1.27572787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290805349050353 × 6371000     		do = 88.8194389296042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39314218--1.39309424) × cos(-1.27574181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290792011477715 × 6371000     		du = 88.8153652916115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27572787)-sin(-1.27574181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290805349050353-0.290792011477715)×R²
    abs(-1.39309424--1.39314218)×1.33375726378282e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33375726378282e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33375726378282e-05×40589641000000     		ar = 7888.0280237692m²