Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36474 / 102654
↖ ↑ ↗
← S 70.842870°
W 79.821167°		 ← 100.23 m → S 70.842870°
W 79.818420°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
S 70.843772°
W 79.821167°		 ← 100.22 m →
10 051 m²		 S 70.843772°
W 79.818420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278278350830078 y=0.783191680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278278350830078 × 217)
    floor (0.278278350830078 × 131072)
    floor (36474.5)     		tx = 36474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783191680908203 × 217)
    floor (0.783191680908203 × 131072)
    floor (102654.5)     		ty = 102654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36474 / 102654 ti = "17/36474/102654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36474/102654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36474 ÷ 217
    36474 ÷ 131072     		x = 0.278274536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102654 ÷ 217
    102654 ÷ 131072     		y = 0.783187866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278274536132812 × 2 - 1) × π
    -0.443450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39314218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783187866210938 × 2 - 1) × π
    -0.566375732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77932184009724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39314218} λ = -1.39314218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77932184009724))-π/2
    2×atan(0.168752549685329)-π/2
    2×0.167177496181426-π/2
    0.334354992362852-1.57079632675     		φ = -1.23644133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39314218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.821167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23644133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.842870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36474 KachelY 102654 -1.39314218 -1.23644133 -79.821167 -70.842870
    Oben rechts KachelX + 1 36475 KachelY 102654 -1.39309424 -1.23644133 -79.818420 -70.842870
    Unten links KachelX 36474 KachelY + 1 102655 -1.39314218 -1.23645707 -79.821167 -70.843772
    Unten rechts KachelX + 1 36475 KachelY + 1 102655 -1.39309424 -1.23645707 -79.818420 -70.843772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23644133--1.23645707) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dl = 100.279540000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23644133--1.23645707) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dr = 100.279540000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39314218--1.39309424) × cos(-1.23644133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32815995385072 × 6371000     		do = 100.228496743156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39314218--1.39309424) × cos(-1.23645707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32814508545711 × 6371000     		du = 100.223955553035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23644133)-sin(-1.23645707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32815995385072-0.32814508545711)×R²
    abs(-1.39309424--1.39314218)×1.48683936109228e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48683936109228e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48683936109228e-05×40589641000000     		ar = 10050.6398543763m²