Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36473 / 105303
↖ ↑ ↗
← S 73.092225°
W 79.823913°		 ← 88.81 m → S 73.092225°
W 79.821167°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
S 73.093024°
W 79.823913°		 ← 88.80 m →
7 887 m²		 S 73.093024°
W 79.821167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278270721435547 y=0.803401947021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278270721435547 × 217)
    floor (0.278270721435547 × 131072)
    floor (36473.5)     		tx = 36473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803401947021484 × 217)
    floor (0.803401947021484 × 131072)
    floor (105303.5)     		ty = 105303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36473 / 105303 ti = "17/36473/105303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36473/105303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36473 ÷ 217
    36473 ÷ 131072     		x = 0.278266906738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105303 ÷ 217
    105303 ÷ 131072     		y = 0.803398132324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278266906738281 × 2 - 1) × π
    -0.443466186523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.39319011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803398132324219 × 2 - 1) × π
    -0.606796264648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.90630668719077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39319011} λ = -1.39319011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90630668719077))-π/2
    2×atan(0.148628304978236)-π/2
    2×0.147548167388897-π/2
    0.295096334777794-1.57079632675     		φ = -1.27569999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39319011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.823913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27569999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.092225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36473 KachelY 105303 -1.39319011 -1.27569999 -79.823913 -73.092225
    Oben rechts KachelX + 1 36474 KachelY 105303 -1.39314218 -1.27569999 -79.821167 -73.092225
    Unten links KachelX 36473 KachelY + 1 105304 -1.39319011 -1.27571393 -79.823913 -73.093024
    Unten rechts KachelX + 1 36474 KachelY + 1 105304 -1.39314218 -1.27571393 -79.821167 -73.093024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27569999--1.27571393) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27569999--1.27571393) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39319011--1.39314218) × cos(-1.27569999) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290832024026096 × 6371000     		do = 88.8090572456717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39319011--1.39314218) × cos(-1.27571393) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290818686566481 × 6371000     		du = 88.8049844919287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27569999)-sin(-1.27571393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290832024026096-0.290818686566481)×R²
    abs(-1.39314218--1.39319011)×1.33374596147928e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33374596147928e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33374596147928e-05×40589641000000     		ar = 7887.10604792564m²