Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36472 / 39190
↖ ↑ ↗
← S 33.238688°
E 20.346680°		 ← 510.91 m → S 33.238688°
E 20.352173°		 →
↑
510.83 m
↓
↑
510.83 m
↓
S 33.243282°
E 20.346680°		 ← 510.89 m →
260 981 m²		 S 33.243282°
E 20.352173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556526184082031 y=0.597999572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556526184082031 × 216)
    floor (0.556526184082031 × 65536)
    floor (36472.5)     		tx = 36472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597999572753906 × 216)
    floor (0.597999572753906 × 65536)
    floor (39190.5)     		ty = 39190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36472 / 39190 ti = "16/36472/39190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36472/39190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36472 ÷ 216
    36472 ÷ 65536     		x = 0.5565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39190 ÷ 216
    39190 ÷ 65536     		y = 0.597991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5565185546875 × 2 - 1) × π
    0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.19598388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.615701538720001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35511655} λ = 0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615701538720001))-π/2
    2×atan(0.540261747796521)-π/2
    2×0.495335895205937-π/2
    0.990671790411873-1.57079632675     		φ = -0.58012454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58012454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.238688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36472 KachelY 39190 0.35511655 -0.58012454 20.346680 -33.238688
    Oben rechts KachelX + 1 36473 KachelY 39190 0.35521243 -0.58012454 20.352173 -33.238688
    Unten links KachelX 36472 KachelY + 1 39191 0.35511655 -0.58020472 20.346680 -33.243282
    Unten rechts KachelX + 1 36473 KachelY + 1 39191 0.35521243 -0.58020472 20.352173 -33.243282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58012454--0.58020472) × R
    8.01799999999853e-05 × 6371000     		dl = 510.826779999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58012454--0.58020472) × R
    8.01799999999853e-05 × 6371000     		dr = 510.826779999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35511655-0.35521243) × cos(-0.58012454) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.836394392527419 × 6371000     		do = 510.912752539331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35511655-0.35521243) × cos(-0.58020472) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.836350440927439 × 6371000     		du = 510.885904639435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58012454)-sin(-0.58020472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836394392527419-0.836350440927439)×R²
    abs(0.35521243-0.35511655)×4.39515999796081e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.39515999796081e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.39515999796081e-05×40589641000000     		ar = 260981.059067376m²