Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36472 / 39176
↖ ↑ ↗
← S 33.174342°
E 20.346680°		 ← 511.29 m → S 33.174342°
E 20.352173°		 →
↑
511.21 m
↓
↑
511.21 m
↓
S 33.178939°
E 20.346680°		 ← 511.26 m →
261 368 m²		 S 33.178939°
E 20.352173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556526184082031 y=0.597785949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556526184082031 × 216)
    floor (0.556526184082031 × 65536)
    floor (36472.5)     		tx = 36472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597785949707031 × 216)
    floor (0.597785949707031 × 65536)
    floor (39176.5)     		ty = 39176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36472 / 39176 ti = "16/36472/39176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36472/39176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36472 ÷ 216
    36472 ÷ 65536     		x = 0.5565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39176 ÷ 216
    39176 ÷ 65536     		y = 0.5977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5565185546875 × 2 - 1) × π
    0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.195556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.61435930553064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35511655} λ = 0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61435930553064))-π/2
    2×atan(0.540987391928232)-π/2
    2×0.495897419781723-π/2
    0.991794839563446-1.57079632675     		φ = -0.57900149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57900149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.174342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36472 KachelY 39176 0.35511655 -0.57900149 20.346680 -33.174342
    Oben rechts KachelX + 1 36473 KachelY 39176 0.35521243 -0.57900149 20.352173 -33.174342
    Unten links KachelX 36472 KachelY + 1 39177 0.35511655 -0.57908173 20.346680 -33.178939
    Unten rechts KachelX + 1 36473 KachelY + 1 39177 0.35521243 -0.57908173 20.352173 -33.178939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57900149--0.57908173) × R
    8.02399999999537e-05 × 6371000     		dl = 511.209039999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57900149--0.57908173) × R
    8.02399999999537e-05 × 6371000     		dr = 511.209039999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35511655-0.35521243) × cos(-0.57900149) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.837009440219494 × 6371000     		do = 511.288455332306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35511655-0.35521243) × cos(-0.57908173) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.836965531123996 × 6371000     		du = 511.261633396336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57900149)-sin(-0.57908173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837009440219494-0.836965531123996)×R²
    abs(0.35521243-0.35511655)×4.39090954982291e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.39090954982291e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.39090954982291e-05×40589641000000     		ar = 261368.424745723m²