Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36472 / 38520
↖ ↑ ↗
← S 30.107118°
E 20.346680°		 ← 528.44 m → S 30.107118°
E 20.352173°		 →
↑
528.35 m
↓
↑
528.35 m
↓
S 30.111870°
E 20.346680°		 ← 528.42 m →
279 193 m²		 S 30.111870°
E 20.352173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556526184082031 y=0.587776184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556526184082031 × 216)
    floor (0.556526184082031 × 65536)
    floor (36472.5)     		tx = 36472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587776184082031 × 216)
    floor (0.587776184082031 × 65536)
    floor (38520.5)     		ty = 38520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36472 / 38520 ti = "16/36472/38520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36472/38520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36472 ÷ 216
    36472 ÷ 65536     		x = 0.5565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38520 ÷ 216
    38520 ÷ 65536     		y = 0.5877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5565185546875 × 2 - 1) × π
    0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.551466093229126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35511655} λ = 0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551466093229126))-π/2
    2×atan(0.576104567923463)-π/2
    2×0.522663995696346-π/2
    1.04532799139269-1.57079632675     		φ = -0.52546834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52546834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.107118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36472 KachelY 38520 0.35511655 -0.52546834 20.346680 -30.107118
    Oben rechts KachelX + 1 36473 KachelY 38520 0.35521243 -0.52546834 20.352173 -30.107118
    Unten links KachelX 36472 KachelY + 1 38521 0.35511655 -0.52555127 20.346680 -30.111870
    Unten rechts KachelX + 1 36473 KachelY + 1 38521 0.35521243 -0.52555127 20.352173 -30.111870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52546834--0.52555127) × R
    8.29300000000366e-05 × 6371000     		dl = 528.347030000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52546834--0.52555127) × R
    8.29300000000366e-05 × 6371000     		dr = 528.347030000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35511655-0.35521243) × cos(-0.52546834) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.86508910863182 × 6371000     		do = 528.440962339893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35511655-0.35521243) × cos(-0.52555127) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.86504750645848 × 6371000     		du = 528.415549590737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52546834)-sin(-0.52555127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86508910863182-0.86504750645848)×R²
    abs(0.35521243-0.35511655)×4.16021733394834e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.16021733394834e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.16021733394834e-05×40589641000000     		ar = 279193.499767795m²