Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36472 / 27593
↖ ↑ ↗
← N 27.327855°
E 20.346680°		 ← 542.68 m → N 27.327855°
E 20.352173°		 →
↑
542.68 m
↓
↑
542.68 m
↓
N 27.322975°
E 20.346680°		 ← 542.70 m →
294 507 m²		 N 27.322975°
E 20.352173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556526184082031 y=0.421043395996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556526184082031 × 216)
    floor (0.556526184082031 × 65536)
    floor (36472.5)     		tx = 36472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421043395996094 × 216)
    floor (0.421043395996094 × 65536)
    floor (27593.5)     		ty = 27593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36472 / 27593 ti = "16/36472/27593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36472/27593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36472 ÷ 216
    36472 ÷ 65536     		x = 0.5565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27593 ÷ 216
    27593 ÷ 65536     		y = 0.421035766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5565185546875 × 2 - 1) × π
    0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421035766601562 × 2 - 1) × π
    0.157928466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.496146911067581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35511655} λ = 0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496146911067581))-π/2
    2×atan(1.64238082401617)-π/2
    2×1.02387868832413-π/2
    2.04775737664826-1.57079632675     		φ = 0.47696105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47696105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.327855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36472 KachelY 27593 0.35511655 0.47696105 20.346680 27.327855
    Oben rechts KachelX + 1 36473 KachelY 27593 0.35521243 0.47696105 20.352173 27.327855
    Unten links KachelX 36472 KachelY + 1 27594 0.35511655 0.47687587 20.346680 27.322975
    Unten rechts KachelX + 1 36473 KachelY + 1 27594 0.35521243 0.47687587 20.352173 27.322975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47696105-0.47687587) × R
    8.5180000000018e-05 × 6371000     		dl = 542.681780000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47696105-0.47687587) × R
    8.5180000000018e-05 × 6371000     		dr = 542.681780000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35511655-0.35521243) × cos(0.47696105) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.888394148652609 × 6371000     		do = 542.676880528059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35511655-0.35521243) × cos(0.47687587) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.888433249993007 × 6371000     		du = 542.700765639711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47696105)-sin(0.47687587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888394148652609-0.888433249993007)×R²
    abs(0.35521243-0.35511655)×3.91013403978624e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.91013403978624e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.91013403978624e-05×40589641000000     		ar = 294507.336675299m²