Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3647 / 2235
↖ ↑ ↗
← N 63.015106°
W 19.731445°		 ← 2 217.27 m → N 63.015106°
W 19.687500°		 →
↑
2 218 m
↓
↑
2 218 m
↓
N 62.995159°
W 19.731445°		 ← 2 218.79 m →
4 919 594 m²		 N 62.995159°
W 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44525146484375 y=0.27288818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44525146484375 × 213)
    floor (0.44525146484375 × 8192)
    floor (3647.5)     		tx = 3647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27288818359375 × 213)
    floor (0.27288818359375 × 8192)
    floor (2235.5)     		ty = 2235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3647 / 2235 ti = "13/3647/2235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3647/2235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3647 ÷ 213
    3647 ÷ 8192     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2235 ÷ 213
    2235 ÷ 8192     		y = 0.2728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2728271484375 × 2 - 1) × π
    0.454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42736912308679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42736912308679))-π/2
    2×atan(4.16771999747929)-π/2
    2×1.33530869985215-π/2
    2.67061739970431-1.57079632675     		φ = 1.09982107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09982107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.015106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3647 KachelY 2235 -0.34437869 1.09982107 -19.731445 63.015106
    Oben rechts KachelX + 1 3648 KachelY 2235 -0.34361170 1.09982107 -19.687500 63.015106
    Unten links KachelX 3647 KachelY + 1 2236 -0.34437869 1.09947293 -19.731445 62.995159
    Unten rechts KachelX + 1 3648 KachelY + 1 2236 -0.34361170 1.09947293 -19.687500 62.995159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09982107-1.09947293) × R
    0.000348140000000052 × 6371000     		dl = 2217.99994000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09982107-1.09947293) × R
    0.000348140000000052 × 6371000     		dr = 2217.99994000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34361170) × cos(1.09982107) × R
    0.000766989999999967 × 0.453755577896508 × 6371000     		do = 2217.27358669126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34361170) × cos(1.09947293) × R
    0.000766989999999967 × 0.454065787061965 × 6371000     		du = 2218.78942169677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09982107)-sin(1.09947293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453755577896508-0.454065787061965)×R²
    abs(-0.34361170--0.34437869)×0.000310209165456876×R²
    0.000766989999999967×0.000310209165456876×6371000²
    0.000766989999999967×0.000310209165456876×40589641000000     		ar = 4919593.79290958m²