Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36467 / 105169
↖ ↑ ↗
← S 72.984858°
W 79.840393°		 ← 89.38 m → S 72.984858°
W 79.837647°		 →
↑
89.39 m
↓
↑
89.39 m
↓
S 72.985662°
W 79.840393°		 ← 89.37 m →
7 989 m²		 S 72.985662°
W 79.837647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278224945068359 y=0.802379608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278224945068359 × 217)
    floor (0.278224945068359 × 131072)
    floor (36467.5)     		tx = 36467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802379608154297 × 217)
    floor (0.802379608154297 × 131072)
    floor (105169.5)     		ty = 105169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36467 / 105169 ti = "17/36467/105169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36467/105169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36467 ÷ 217
    36467 ÷ 131072     		x = 0.278221130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105169 ÷ 217
    105169 ÷ 131072     		y = 0.802375793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278221130371094 × 2 - 1) × π
    -0.443557739257812 × 3.1415926535     		Λ = -1.39347774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802375793457031 × 2 - 1) × π
    -0.604751586914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.89988314264169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39347774} λ = -1.39347774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89988314264169))-π/2
    2×atan(0.149586098437632)-π/2
    2×0.148485129347399-π/2
    0.296970258694798-1.57079632675     		φ = -1.27382607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39347774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.840393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27382607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.984858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36467 KachelY 105169 -1.39347774 -1.27382607 -79.840393 -72.984858
    Oben rechts KachelX + 1 36468 KachelY 105169 -1.39342980 -1.27382607 -79.837647 -72.984858
    Unten links KachelX 36467 KachelY + 1 105170 -1.39347774 -1.27384010 -79.840393 -72.985662
    Unten rechts KachelX + 1 36468 KachelY + 1 105170 -1.39342980 -1.27384010 -79.837647 -72.985662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27382607--1.27384010) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dl = 89.3851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27382607--1.27384010) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dr = 89.3851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39347774--1.39342980) × cos(-1.27382607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292624430513211 × 6371000     		do = 89.3750332315173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39347774--1.39342980) × cos(-1.27384010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292611014613239 × 6371000     		du = 89.3709356703408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27382607)-sin(-1.27384010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292624430513211-0.292611014613239)×R²
    abs(-1.39342980--1.39347774)×1.34158999712253e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34158999712253e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34158999712253e-05×40589641000000     		ar = 7988.61583378233m²