Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36466 / 47782
↖ ↑ ↗
← S 63.327482°
E 20.313721°		 ← 274.18 m → S 63.327482°
E 20.319214°		 →
↑
274.21 m
↓
↑
274.21 m
↓
S 63.329948°
E 20.313721°		 ← 274.15 m →
75 178 m²		 S 63.329948°
E 20.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556434631347656 y=0.729103088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556434631347656 × 216)
    floor (0.556434631347656 × 65536)
    floor (36466.5)     		tx = 36466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729103088378906 × 216)
    floor (0.729103088378906 × 65536)
    floor (47782.5)     		ty = 47782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36466 / 47782 ti = "16/36466/47782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36466/47782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36466 ÷ 216
    36466 ÷ 65536     		x = 0.556427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47782 ÷ 216
    47782 ÷ 65536     		y = 0.729095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556427001953125 × 2 - 1) × π
    0.11285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35454131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729095458984375 × 2 - 1) × π
    -0.45819091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43944922179105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35454131} λ = 0.35454131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43944922179105))-π/2
    2×atan(0.237058289272103)-π/2
    2×0.232761633326681-π/2
    0.465523266653363-1.57079632675     		φ = -1.10527306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35454131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.313721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10527306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.327482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36466 KachelY 47782 0.35454131 -1.10527306 20.313721 -63.327482
    Oben rechts KachelX + 1 36467 KachelY 47782 0.35463718 -1.10527306 20.319214 -63.327482
    Unten links KachelX 36466 KachelY + 1 47783 0.35454131 -1.10531610 20.313721 -63.329948
    Unten rechts KachelX + 1 36467 KachelY + 1 47783 0.35463718 -1.10531610 20.319214 -63.329948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10527306--1.10531610) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dl = 274.207839999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10527306--1.10531610) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dr = 274.207839999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35454131-0.35463718) × cos(-1.10527306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44889044717923 × 6371000     		do = 274.176795206899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35454131-0.35463718) × cos(-1.10531610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448851986787664 × 6371000     		du = 274.153304070101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10527306)-sin(-1.10531610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44889044717923-0.448851986787664)×R²
    abs(0.35463718-0.35454131)×3.84603915666859e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84603915666859e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84603915666859e-05×40589641000000     		ar = 75178.206076346m²