Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36465 / 48025
↖ ↑ ↗
← S 63.920473°
E 20.308228°		 ← 268.51 m → S 63.920473°
E 20.313721°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
S 63.922888°
E 20.308228°		 ← 268.49 m →
72 086 m²		 S 63.922888°
E 20.313721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556419372558594 y=0.732810974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556419372558594 × 216)
    floor (0.556419372558594 × 65536)
    floor (36465.5)     		tx = 36465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732810974121094 × 216)
    floor (0.732810974121094 × 65536)
    floor (48025.5)     		ty = 48025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36465 / 48025 ti = "16/36465/48025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36465/48025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36465 ÷ 216
    36465 ÷ 65536     		x = 0.556411743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48025 ÷ 216
    48025 ÷ 65536     		y = 0.732803344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556411743164062 × 2 - 1) × π
    0.112823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35444544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732803344726562 × 2 - 1) × π
    -0.465606689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46274655500639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35444544} λ = 0.35444544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46274655500639))-π/2
    2×atan(0.231599300169988)-π/2
    2×0.227586804185475-π/2
    0.45517360837095-1.57079632675     		φ = -1.11562272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35444544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.308228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11562272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.920473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36465 KachelY 48025 0.35444544 -1.11562272 20.308228 -63.920473
    Oben rechts KachelX + 1 36466 KachelY 48025 0.35454131 -1.11562272 20.313721 -63.920473
    Unten links KachelX 36465 KachelY + 1 48026 0.35444544 -1.11566486 20.308228 -63.922888
    Unten rechts KachelX + 1 36466 KachelY + 1 48026 0.35454131 -1.11566486 20.313721 -63.922888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11562272--1.11566486) × R
    4.21400000001348e-05 × 6371000     		dl = 268.473940000859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11562272--1.11566486) × R
    4.21400000001348e-05 × 6371000     		dr = 268.473940000859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35444544-0.35454131) × cos(-1.11562272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.439618251400605 × 6371000     		do = 268.513451424269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35444544-0.35454131) × cos(-1.11566486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.439580401506141 × 6371000     		du = 268.490333171634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11562272)-sin(-1.11566486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439618251400605-0.439580401506141)×R²
    abs(0.35454131-0.35444544)×3.78498944643146e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78498944643146e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78498944643146e-05×40589641000000     		ar = 72085.7609337312m²