Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36464 / 27600
↖ ↑ ↗
← N 27.293689°
E 20.302734°		 ← 542.84 m → N 27.293689°
E 20.308228°		 →
↑
542.81 m
↓
↑
542.81 m
↓
N 27.288808°
E 20.302734°		 ← 542.87 m →
294 667 m²		 N 27.288808°
E 20.308228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556404113769531 y=0.421150207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556404113769531 × 216)
    floor (0.556404113769531 × 65536)
    floor (36464.5)     		tx = 36464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421150207519531 × 216)
    floor (0.421150207519531 × 65536)
    floor (27600.5)     		ty = 27600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36464 / 27600 ti = "16/36464/27600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36464/27600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36464 ÷ 216
    36464 ÷ 65536     		x = 0.556396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27600 ÷ 216
    27600 ÷ 65536     		y = 0.421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556396484375 × 2 - 1) × π
    0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421142578125 × 2 - 1) × π
    0.15771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.4954757944729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35434956} λ = 0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4954757944729))-π/2
    2×atan(1.64127896476975)-π/2
    2×1.02358053438604-π/2
    2.04716106877208-1.57079632675     		φ = 0.47636474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47636474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.293689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36464 KachelY 27600 0.35434956 0.47636474 20.302734 27.293689
    Oben rechts KachelX + 1 36465 KachelY 27600 0.35444544 0.47636474 20.308228 27.293689
    Unten links KachelX 36464 KachelY + 1 27601 0.35434956 0.47627954 20.302734 27.288808
    Unten rechts KachelX + 1 36465 KachelY + 1 27601 0.35444544 0.47627954 20.308228 27.288808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47636474-0.47627954) × R
    8.52000000000075e-05 × 6371000     		dl = 542.809200000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47636474-0.47627954) × R
    8.52000000000075e-05 × 6371000     		dr = 542.809200000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35434956-0.35444544) × cos(0.47636474) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.888667745584006 × 6371000     		do = 542.844007618212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35434956-0.35444544) × cos(0.47627954) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.888706810961167 × 6371000     		du = 542.867870761668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47636474)-sin(0.47627954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888667745584006-0.888706810961167)×R²
    abs(0.35444544-0.35434956)×3.90653771615845e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.90653771615845e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.90653771615845e-05×40589641000000     		ar = 294667.198245274m²