Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36464 / 105008
↖ ↑ ↗
← S 72.854981°
W 79.848633°		 ← 90.04 m → S 72.854981°
W 79.845886°		 →
↑
90.02 m
↓
↑
90.02 m
↓
S 72.855790°
W 79.848633°		 ← 90.03 m →
8 105 m²		 S 72.855790°
W 79.845886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278202056884766 y=0.801151275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278202056884766 × 217)
    floor (0.278202056884766 × 131072)
    floor (36464.5)     		tx = 36464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801151275634766 × 217)
    floor (0.801151275634766 × 131072)
    floor (105008.5)     		ty = 105008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36464 / 105008 ti = "17/36464/105008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36464/105008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36464 ÷ 217
    36464 ÷ 131072     		x = 0.2781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105008 ÷ 217
    105008 ÷ 131072     		y = 0.8011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39362155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89216530180286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39362155} λ = -1.39362155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89216530180286))-π/2
    2×atan(0.150745046673357)-π/2
    2×0.149618519852509-π/2
    0.299237039705018-1.57079632675     		φ = -1.27155929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39362155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.848633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27155929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.854981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36464 KachelY 105008 -1.39362155 -1.27155929 -79.848633 -72.854981
    Oben rechts KachelX + 1 36465 KachelY 105008 -1.39357361 -1.27155929 -79.845886 -72.854981
    Unten links KachelX 36464 KachelY + 1 105009 -1.39362155 -1.27157342 -79.848633 -72.855790
    Unten rechts KachelX + 1 36465 KachelY + 1 105009 -1.39357361 -1.27157342 -79.845886 -72.855790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27155929--1.27157342) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dl = 90.0222300003606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27155929--1.27157342) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dr = 90.0222300003606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39362155--1.39357361) × cos(-1.27155929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294791234129309 × 6371000     		do = 90.0368308293984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39362155--1.39357361) × cos(-1.27157342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294777732013313 × 6371000     		du = 90.0327069356287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27155929)-sin(-1.27157342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294791234129309-0.294777732013313)×R²
    abs(-1.39357361--1.39362155)×1.35021159961002e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35021159961002e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35021159961002e-05×40589641000000     		ar = 8105.13067252914m²