Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36463 / 47785
↖ ↑ ↗
← S 63.334878°
E 20.297241°		 ← 274.11 m → S 63.334878°
E 20.302734°		 →
↑
274.14 m
↓
↑
274.14 m
↓
S 63.337343°
E 20.297241°		 ← 274.08 m →
75 141 m²		 S 63.337343°
E 20.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556388854980469 y=0.729148864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556388854980469 × 216)
    floor (0.556388854980469 × 65536)
    floor (36463.5)     		tx = 36463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729148864746094 × 216)
    floor (0.729148864746094 × 65536)
    floor (47785.5)     		ty = 47785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36463 / 47785 ti = "16/36463/47785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36463/47785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36463 ÷ 216
    36463 ÷ 65536     		x = 0.556381225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47785 ÷ 216
    47785 ÷ 65536     		y = 0.729141235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556381225585938 × 2 - 1) × π
    0.112762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35425369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729141235351562 × 2 - 1) × π
    -0.458282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43973684318877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35425369} λ = 0.35425369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43973684318877))-π/2
    2×atan(0.236990116040111)-π/2
    2×0.232697086373071-π/2
    0.465394172746142-1.57079632675     		φ = -1.10540215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35425369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.297241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10540215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.334878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36463 KachelY 47785 0.35425369 -1.10540215 20.297241 -63.334878
    Oben rechts KachelX + 1 36464 KachelY 47785 0.35434956 -1.10540215 20.302734 -63.334878
    Unten links KachelX 36463 KachelY + 1 47786 0.35425369 -1.10544518 20.297241 -63.337343
    Unten rechts KachelX + 1 36464 KachelY + 1 47786 0.35434956 -1.10544518 20.302734 -63.337343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10540215--1.10544518) × R
    4.3030000000055e-05 × 6371000     		dl = 274.14413000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10540215--1.10544518) × R
    4.3030000000055e-05 × 6371000     		dr = 274.14413000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35425369-0.35434956) × cos(-1.10540215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448775090319528 × 6371000     		do = 274.106336647807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35425369-0.35434956) × cos(-1.10544518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448736636370978 × 6371000     		du = 274.082849446325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10540215)-sin(-1.10544518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448775090319528-0.448736636370978)×R²
    abs(0.35434956-0.35425369)×3.8453948549344e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8453948549344e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8453948549344e-05×40589641000000     		ar = 75141.4237605378m²