Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36462 / 105009
↖ ↑ ↗
← S 72.855790°
W 79.854126°		 ← 90.03 m → S 72.855790°
W 79.851379°		 →
↑
90.02 m
↓
↑
90.02 m
↓
S 72.856600°
W 79.854126°		 ← 90.03 m →
8 105 m²		 S 72.856600°
W 79.851379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278186798095703 y=0.801158905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278186798095703 × 217)
    floor (0.278186798095703 × 131072)
    floor (36462.5)     		tx = 36462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801158905029297 × 217)
    floor (0.801158905029297 × 131072)
    floor (105009.5)     		ty = 105009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36462 / 105009 ti = "17/36462/105009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36462/105009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36462 ÷ 217
    36462 ÷ 131072     		x = 0.278182983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105009 ÷ 217
    105009 ÷ 131072     		y = 0.801155090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278182983398438 × 2 - 1) × π
    -0.443634033203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39371742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801155090332031 × 2 - 1) × π
    -0.602310180664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.89221323870248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39371742} λ = -1.39371742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89221323870248))-π/2
    2×atan(0.150737820596385)-π/2
    2×0.149611454325368-π/2
    0.299222908650737-1.57079632675     		φ = -1.27157342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39371742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.854126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27157342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.855790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36462 KachelY 105009 -1.39371742 -1.27157342 -79.854126 -72.855790
    Oben rechts KachelX + 1 36463 KachelY 105009 -1.39366948 -1.27157342 -79.851379 -72.855790
    Unten links KachelX 36462 KachelY + 1 105010 -1.39371742 -1.27158755 -79.854126 -72.856600
    Unten rechts KachelX + 1 36463 KachelY + 1 105010 -1.39366948 -1.27158755 -79.851379 -72.856600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27157342--1.27158755) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dl = 90.0222300003606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27157342--1.27158755) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dr = 90.0222300003606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39371742--1.39366948) × cos(-1.27157342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294777732013313 × 6371000     		do = 90.0327069356287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39371742--1.39366948) × cos(-1.27158755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294764229838462 × 6371000     		du = 90.0285830238834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27157342)-sin(-1.27158755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294777732013313-0.294764229838462)×R²
    abs(-1.39366948--1.39371742)×1.35021748505215e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35021748505215e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35021748505215e-05×40589641000000     		ar = 8104.75942968126m²