Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36461 / 105007
↖ ↑ ↗
← S 72.854171°
W 79.856873°		 ← 90.04 m → S 72.854171°
W 79.854126°		 →
↑
90.02 m
↓
↑
90.02 m
↓
S 72.854981°
W 79.856873°		 ← 90.04 m →
8 106 m²		 S 72.854981°
W 79.854126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278179168701172 y=0.801143646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278179168701172 × 217)
    floor (0.278179168701172 × 131072)
    floor (36461.5)     		tx = 36461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801143646240234 × 217)
    floor (0.801143646240234 × 131072)
    floor (105007.5)     		ty = 105007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36461 / 105007 ti = "17/36461/105007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36461/105007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36461 ÷ 217
    36461 ÷ 131072     		x = 0.278175354003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105007 ÷ 217
    105007 ÷ 131072     		y = 0.801139831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278175354003906 × 2 - 1) × π
    -0.443649291992188 × 3.1415926535     		Λ = -1.39376536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801139831542969 × 2 - 1) × π
    -0.602279663085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.89211736490324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39376536} λ = -1.39376536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89211736490324))-π/2
    2×atan(0.150752273096732)-π/2
    2×0.149625585703306-π/2
    0.299251171406611-1.57079632675     		φ = -1.27154516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39376536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.856873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27154516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.854171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36461 KachelY 105007 -1.39376536 -1.27154516 -79.856873 -72.854171
    Oben rechts KachelX + 1 36462 KachelY 105007 -1.39371742 -1.27154516 -79.854126 -72.854171
    Unten links KachelX 36461 KachelY + 1 105008 -1.39376536 -1.27155929 -79.856873 -72.854981
    Unten rechts KachelX + 1 36462 KachelY + 1 105008 -1.39371742 -1.27155929 -79.854126 -72.854981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27154516--1.27155929) × R
    1.41299999998346e-05 × 6371000     		dl = 90.0222299989459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27154516--1.27155929) × R
    1.41299999998346e-05 × 6371000     		dr = 90.0222299989459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39376536--1.39371742) × cos(-1.27154516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294804736186448 × 6371000     		do = 90.0409547051915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39376536--1.39371742) × cos(-1.27155929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294791234129309 × 6371000     		du = 90.0368308293984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27154516)-sin(-1.27155929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294804736186448-0.294791234129309)×R²
    abs(-1.39371742--1.39376536)×1.35020571387923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35020571387923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35020571387923e-05×40589641000000     		ar = 8105.50191364874m²