Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3646 / 5418
↖ ↑ ↗
← S 50.120578°
W 19.775391°		 ← 3 133.09 m → S 50.120578°
W 19.731445°		 →
↑
3 132.17 m
↓
↑
3 132.17 m
↓
S 50.148746°
W 19.775391°		 ← 3 131.25 m →
9 810 506 m²		 S 50.148746°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44512939453125 y=0.66143798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44512939453125 × 213)
    floor (0.44512939453125 × 8192)
    floor (3646.5)     		tx = 3646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66143798828125 × 213)
    floor (0.66143798828125 × 8192)
    floor (5418.5)     		ty = 5418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3646 / 5418 ti = "13/3646/5418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3646/5418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3646 ÷ 213
    3646 ÷ 8192     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5418 ÷ 213
    5418 ÷ 8192     		y = 0.661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.32275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01396130076343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01396130076343))-π/2
    2×atan(0.362779052524679)-π/2
    2×0.348013608000559-π/2
    0.696027216001118-1.57079632675     		φ = -0.87476911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87476911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.120578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3646 KachelY 5418 -0.34514568 -0.87476911 -19.775391 -50.120578
    Oben rechts KachelX + 1 3647 KachelY 5418 -0.34437869 -0.87476911 -19.731445 -50.120578
    Unten links KachelX 3646 KachelY + 1 5419 -0.34514568 -0.87526074 -19.775391 -50.148746
    Unten rechts KachelX + 1 3647 KachelY + 1 5419 -0.34437869 -0.87526074 -19.731445 -50.148746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87476911--0.87526074) × R
    0.000491629999999965 × 6371000     		dl = 3132.17472999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87476911--0.87526074) × R
    0.000491629999999965 × 6371000     		dr = 3132.17472999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34437869) × cos(-0.87476911) × R
    0.000766990000000023 × 0.641174059195149 × 6371000     		do = 3133.09273797925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34437869) × cos(-0.87526074) × R
    0.000766990000000023 × 0.640796707083623 × 6371000     		du = 3131.24880941831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87476911)-sin(-0.87526074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641174059195149-0.640796707083623)×R²
    abs(-0.34437869--0.34514568)×0.00037735211152623×R²
    0.000766990000000023×0.00037735211152623×6371000²
    0.000766990000000023×0.00037735211152623×40589641000000     		ar = 9810506.34502291m²