Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3646 / 5414
↖ ↑ ↗
← S 50.007739°
W 19.775391°		 ← 3 140.47 m → S 50.007739°
W 19.731445°		 →
↑
3 139.50 m
↓
↑
3 139.50 m
↓
S 50.035973°
W 19.775391°		 ← 3 138.63 m →
9 856 619 m²		 S 50.035973°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44512939453125 y=0.66094970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44512939453125 × 213)
    floor (0.44512939453125 × 8192)
    floor (3646.5)     		tx = 3646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66094970703125 × 213)
    floor (0.66094970703125 × 8192)
    floor (5414.5)     		ty = 5414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3646 / 5414 ti = "13/3646/5414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3646/5414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3646 ÷ 213
    3646 ÷ 8192     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5414 ÷ 213
    5414 ÷ 8192     		y = 0.660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.32177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01089333918774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01089333918774))-π/2
    2×atan(0.363893753774256)-π/2
    2×0.348998314765014-π/2
    0.697996629530028-1.57079632675     		φ = -0.87279970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87279970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.007739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3646 KachelY 5414 -0.34514568 -0.87279970 -19.775391 -50.007739
    Oben rechts KachelX + 1 3647 KachelY 5414 -0.34437869 -0.87279970 -19.731445 -50.007739
    Unten links KachelX 3646 KachelY + 1 5415 -0.34514568 -0.87329248 -19.775391 -50.035973
    Unten rechts KachelX + 1 3647 KachelY + 1 5415 -0.34437869 -0.87329248 -19.731445 -50.035973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87279970--0.87329248) × R
    0.000492780000000081 × 6371000     		dl = 3139.50138000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87279970--0.87329248) × R
    0.000492780000000081 × 6371000     		dr = 3139.50138000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34437869) × cos(-0.87279970) × R
    0.000766990000000023 × 0.642684131133747 × 6371000     		do = 3140.47169437463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34437869) × cos(-0.87329248) × R
    0.000766990000000023 × 0.642306518954534 × 6371000     		du = 3138.62649499468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87279970)-sin(-0.87329248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642684131133747-0.642306518954534)×R²
    abs(-0.34437869--0.34514568)×0.000377612179212172×R²
    0.000766990000000023×0.000377612179212172×6371000²
    0.000766990000000023×0.000377612179212172×40589641000000     		ar = 9856618.91480206m²