Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3646 / 4542
↖ ↑ ↗
← N 62.288365°
W 99.887696°		 ← 1 136.18 m → N 62.288365°
W 99.865723°		 →
↑
1 136.40 m
↓
↑
1 136.40 m
↓
N 62.278145°
W 99.887696°		 ← 1 136.56 m →
1 291 366 m²		 N 62.278145°
W 99.865723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222564697265625 y=0.277252197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222564697265625 × 214)
    floor (0.222564697265625 × 16384)
    floor (3646.5)     		tx = 3646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277252197265625 × 214)
    floor (0.277252197265625 × 16384)
    floor (4542.5)     		ty = 4542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3646 / 4542 ti = "14/3646/4542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3646/4542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3646 ÷ 214
    3646 ÷ 16384     		x = 0.2225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4542 ÷ 214
    4542 ÷ 16384     		y = 0.2772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.554931640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74336917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2772216796875 × 2 - 1) × π
    0.445556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.39975746890564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74336917} λ = -1.74336917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39975746890564))-π/2
    2×atan(4.05421657401536)-π/2
    2×1.32896669171252-π/2
    2.65793338342505-1.57079632675     		φ = 1.08713706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74336917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.887696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08713706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.288365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3646 KachelY 4542 -1.74336917 1.08713706 -99.887696 62.288365
    Oben rechts KachelX + 1 3647 KachelY 4542 -1.74298567 1.08713706 -99.865723 62.288365
    Unten links KachelX 3646 KachelY + 1 4543 -1.74336917 1.08695869 -99.887696 62.278145
    Unten rechts KachelX + 1 3647 KachelY + 1 4543 -1.74298567 1.08695869 -99.865723 62.278145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08713706-1.08695869) × R
    0.000178370000000205 × 6371000     		dl = 1136.39527000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08713706-1.08695869) × R
    0.000178370000000205 × 6371000     		dr = 1136.39527000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74336917--1.74298567) × cos(1.08713706) × R
    0.000383500000000092 × 0.465021827704057 × 6371000     		do = 1136.1778336603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74336917--1.74298567) × cos(1.08695869) × R
    0.000383500000000092 × 0.465179731126633 × 6371000     		du = 1136.56363569776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08713706)-sin(1.08695869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465021827704057-0.465179731126633)×R²
    abs(-1.74298567--1.74336917)×0.0001579034225761×R²
    0.000383500000000092×0.0001579034225761×6371000²
    0.000383500000000092×0.0001579034225761×40589641000000     		ar = 1291366.33128007m²