Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3646 / 1770
↖ ↑ ↗
← N 70.931003°
W 19.775391°		 ← 1 596.45 m → N 70.931003°
W 19.731445°		 →
↑
1 597.02 m
↓
↑
1 597.02 m
↓
N 70.916641°
W 19.775391°		 ← 1 597.61 m →
2 550 484 m²		 N 70.916641°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44512939453125 y=0.21612548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44512939453125 × 213)
    floor (0.44512939453125 × 8192)
    floor (3646.5)     		tx = 3646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21612548828125 × 213)
    floor (0.21612548828125 × 8192)
    floor (1770.5)     		ty = 1770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3646 / 1770 ti = "13/3646/1770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3646/1770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3646 ÷ 213
    3646 ÷ 8192     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1770 ÷ 213
    1770 ÷ 8192     		y = 0.216064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216064453125 × 2 - 1) × π
    0.56787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78401965626001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78401965626001))-π/2
    2×atan(5.95374037355061)-π/2
    2×1.40438794008109-π/2
    2.80877588016217-1.57079632675     		φ = 1.23797955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23797955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.931003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3646 KachelY 1770 -0.34514568 1.23797955 -19.775391 70.931003
    Oben rechts KachelX + 1 3647 KachelY 1770 -0.34437869 1.23797955 -19.731445 70.931003
    Unten links KachelX 3646 KachelY + 1 1771 -0.34514568 1.23772888 -19.775391 70.916641
    Unten rechts KachelX + 1 3647 KachelY + 1 1771 -0.34437869 1.23772888 -19.731445 70.916641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23797955-1.23772888) × R
    0.000250670000000008 × 6371000     		dl = 1597.01857000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23797955-1.23772888) × R
    0.000250670000000008 × 6371000     		dr = 1597.01857000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34437869) × cos(1.23797955) × R
    0.000766990000000023 × 0.326706529475913 × 6371000     		do = 1596.44926408328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34437869) × cos(1.23772888) × R
    0.000766990000000023 × 0.326943433902064 × 6371000     		du = 1597.60689597204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23797955)-sin(1.23772888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326706529475913-0.326943433902064)×R²
    abs(-0.34437869--0.34514568)×0.000236904426151374×R²
    0.000766990000000023×0.000236904426151374×6371000²
    0.000766990000000023×0.000236904426151374×40589641000000     		ar = 2550483.5139707m²